Задача по стереометрии

[function]

Здравствуйте! Есть ли в решении данной задачи ошибки:
Дана правильная призма $ABCA_1B_1C_1.$ В нее вписан шар. Найдите радиус этого шара, если расстояние между прямыми $A_1K$ и $B_1L$ равно $\sqrt{21} $, $K$ лежит на $AB$ , $ L$ лежит на $BC$, причем $AK:KB=BL:LC=2:3 $.

Пусть $AB=a$, тогда из вписанности шара следует, что $AA_1=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Теперь найдём угол между прямыми $A_1K$ и $B_1L$. Для этого достроим призму до четырёхугольной $ABCDA_1B_1C_1D_1$ путём симметричного отображения относительно плоскости $AA_1C$. Теперь проведём в плоскости $AA_1D_1$ отрезок $A_1L'||B_1L,\, L'\in AD$. Далее $A_1K=A_1L'=\sqrt{AA_1^2+\frac{4}{25}AB^2}=\frac{\sqrt{91}}{10}a$, $KL'=2\frac{\sqrt{3}}{5}a$. Из треугольника $A_1KL'$ по теореме косинусов находим косинус угла $KA_1L'$: $\cfrac{67}{91}$.

Объём тетраэдра $A_1KLB_1$ с одной стороны равен $\frac{1}{3} LH\cdot S_{A_1KB_1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{5}\cdot \frac{1}{2}\cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} $. С другой стороны, $\frac{1}{6}\cdot \sqrt{21}\sin{\angle (A_1K,\,B_1L)}\cdot A_1K\cdot B_1L$. Синус получается жуткий, поэтому ответ тоже некрасивый, а должен быть, вроде бы, рациональным.

[Oleg Zubelevich]

как славно такие задачи решаются методами векторной алгебры с помощью формулы расстояния между прямыми

[function]

Oleg Zubelevich в сообщении #1038134 писал(а):

как славно такие задачи решаются методами векторной алгебры с помощью формулы расстояния между прямыми

Это понятно, но чем моё решение хуже?

[ewert]

function в сообщении #1038123 писал(а):

$AA_1=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

Не совсем.

[function]

ewert в сообщении #1038138 писал(а):

function в сообщении #1038123 писал(а):

$AA_1=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

Не совсем.

Действительно, $AA_1=\frac{\sqrt{3}}{3}a$. Тогда $A_1K=A_1L=\sqrt{\frac{37}{75}}a$. В результате $\sin\angle KA_1L'=\cfrac{4\sqrt{47\cdot 7}}{75}$ --- снова плохой.