2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Окружности и правильный n-угольник
Сообщение17.07.2015, 13:48 
Аватара пользователя


07/07/14
153
Добрый день! Попросил знакомый помочь с решением тестов по математике, вызвала сомнения одна планиметрическая задача.

Цитата:
Найдите сторону вписанного в окружность радиуса R правильного n-угольника, если около этой окружности описан правильный n-угольник со стороной, равной b.


Я, к сожалению, уже подзабыл планиметрию, но разве в этой задаче нужно знать и R, и b? В вариантах ответа везде фигурируют обе буквы, но одну же можно выразить через другую...

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружности и правильный n-угольник
Сообщение17.07.2015, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
PeanoJr в сообщении #1038035 писал(а):
Я, к сожалению, уже подзабыл планиметрию, но разве в этой задаче нужно знать и R, и b?

Скорее всего, предполагается, что ответ нужно выразить через $R$ и $b$.

-- 17.07.2015, 13:57 --

А $n$ в вариантах ответа фигурирует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружности и правильный n-угольник
Сообщение17.07.2015, 14:04 
Аватара пользователя


07/07/14
153
grizzly в сообщении #1038040 писал(а):
PeanoJr в сообщении #1038035 писал(а):
Я, к сожалению, уже подзабыл планиметрию, но разве в этой задаче нужно знать и R, и b?

Скорее всего, предполагается, что ответ нужно выразить через $R$ и $b$.

-- 17.07.2015, 13:57 --

А $n$ в вариантах ответа фигурирует?


Нет. Не фигурирует. Возможно, имеется ввиду, что будут использованы формулы $r=\frac{a}{2\tg{\frac{\pi}{n}}},R=\frac{a}{2\sin{\frac{\pi}{n}}}$. Тогда, так как в данном случае речь идет об одной и той же окружности, можно выразить сторону одного из n-угольников, через все эти буквы.
Но я, честно говоря, на экзамене бы эту формулу не вспомнил,да и не приходилось ее использовать:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружности и правильный n-угольник
Сообщение17.07.2015, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
PeanoJr
Должно быть как-то проще. Разместите вписанный и описанный многоугольники так, чтобы угол из центра окружности на соответствующие стороны был общим. Найдётся парочка равнобедренных подобных треугольников, про которые известно достаточно много. Должно хватить этих данных, теоремы Пифагора и какого-нибудь подобия.
А в ЕГЭ нужно полное решение? или достаточно угадать нужный ответ? Второе можно легко вычислить по частным случаям.

-- 17.07.2015, 14:20 --

Исправил смысловые опечатки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружности и правильный n-угольник
Сообщение17.07.2015, 14:35 
Аватара пользователя


07/07/14
153
grizzly в сообщении #1038044 писал(а):
PeanoJr
Должно быть как-то проще. Разместите вписанный и описанный многоугольники так, чтобы угол из центра окружности на соответствующие стороны был общим. Найдётся парочка равнобедренных подобных треугольников, про которые известно достаточно много. Должно хватить этих данных, теоремы Пифагора и какого-нибудь подобия.
А в ЕГЭ нужно полное решение? или достаточно угадать нужный ответ? Второе можно легко вычислить по частным случаям.

-- 17.07.2015, 14:20 --

Исправил смысловые опечатки.


Это задание не из ЕГЭ. Здесь нужно просто угадать ответ. Я и попытался сначала сделать по частному случаю: с правильным треугольником. Но тогда ответ получилось выразить через $b$.
А так я решил задачу по тем формулам выше - получается $a=b\cos{\alpha}$,где $\alpha=\frac{\pi}{n}$. А косинус выразить через тангенс, получается ответ: $\frac{2bR}{\sqrt{4R^2+b^2}}$.
Но попробую решить, как Вы сказали, а то надеяться на эти формулы..

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружности и правильный n-угольник
Сообщение17.07.2015, 14:38 


29/06/15
270
[0,\infty )
Проще: половина стороны вписанного является высотой в прямоугольном треугольнике с катетами $R$ и $\dfrac b2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружности и правильный n-угольник
Сообщение17.07.2015, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
PeanoJr в сообщении #1038049 писал(а):
Я и попытался сначала сделать по частному случаю: с правильным треугольником. ... ответ получилось выразить через $b$.

Я имел в виду ещё проще. Взять самый простой случай: $R=1$, $n=4$. Тогда $b=2$ и $x=\sqrt 2$. Подставить в варианты теста $R,b$ и посмотреть, какой из них даёт нужный $x$ на выходе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружности и правильный n-угольник
Сообщение17.07.2015, 14:48 
Аватара пользователя


07/07/14
153
grizzly в сообщении #1038052 писал(а):
PeanoJr в сообщении #1038049 писал(а):
Я и попытался сначала сделать по частному случаю: с правильным треугольником. ... ответ получилось выразить через $b$.

Я имел в виду ещё проще. Взять самый простой случай: $R=1$, $n=4$. Тогда $b=2$ и $x=\sqrt 2$. Подставить в варианты теста $R,b$ и посмотреть, какой из них даёт нужный $x$ на выходе.


Понял:) Вы правы, большую часть заданий в этих тестах рациональнее всего решать именно так, а некоторые ещё и совсем не отличаются адекватностью)

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружности и правильный n-угольник
Сообщение17.07.2015, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4732
Нов-ск
iancaple в сообщении #1038050 писал(а):
Проще: половина стороны вписанного является высотой в прямоугольном треугольнике с катетами $R$ и $\dfrac b2$
Это то же самое, что уже упомянутое подобие:
$$\dfrac{a/2}{R}=\dfrac{b/2}{\sqrt{R^2 + b^2 /4}}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group