Окружности и правильный n-угольник

[PeanoJr]

Добрый день! Попросил знакомый помочь с решением тестов по математике, вызвала сомнения одна планиметрическая задача.

Цитата:

Найдите сторону вписанного в окружность радиуса R правильного n-угольника, если около этой окружности описан правильный n-угольник со стороной, равной b.

Я, к сожалению, уже подзабыл планиметрию, но разве в этой задаче нужно знать и R, и b? В вариантах ответа везде фигурируют обе буквы, но одну же можно выразить через другую...

[grizzly]

PeanoJr в сообщении #1038035 писал(а):

Я, к сожалению, уже подзабыл планиметрию, но разве в этой задаче нужно знать и R, и b?

Скорее всего, предполагается, что ответ нужно выразить через $R$ и $b$.

-- 17.07.2015, 13:57 --

А $n$ в вариантах ответа фигурирует?

[PeanoJr]

grizzly в сообщении #1038040 писал(а):

PeanoJr в сообщении #1038035 писал(а):

Я, к сожалению, уже подзабыл планиметрию, но разве в этой задаче нужно знать и R, и b?

Скорее всего, предполагается, что ответ нужно выразить через $R$ и $b$.

-- 17.07.2015, 13:57 --

А $n$ в вариантах ответа фигурирует?

Нет. Не фигурирует. Возможно, имеется ввиду, что будут использованы формулы $r=\frac{a}{2\tg{\frac{\pi}{n}}},R=\frac{a}{2\sin{\frac{\pi}{n}}}$. Тогда, так как в данном случае речь идет об одной и той же окружности, можно выразить сторону одного из n-угольников, через все эти буквы.
Но я, честно говоря, на экзамене бы эту формулу не вспомнил,да и не приходилось ее использовать:)

[grizzly]

PeanoJr
Должно быть как-то проще. Разместите вписанный и описанный многоугольники так, чтобы угол из центра окружности на соответствующие стороны был общим. Найдётся парочка равнобедренных подобных треугольников, про которые известно достаточно много. Должно хватить этих данных, теоремы Пифагора и какого-нибудь подобия.
А в ЕГЭ нужно полное решение? или достаточно угадать нужный ответ? Второе можно легко вычислить по частным случаям.

-- 17.07.2015, 14:20 --

Исправил смысловые опечатки.

[PeanoJr]

grizzly в сообщении #1038044 писал(а):

PeanoJr
Должно быть как-то проще. Разместите вписанный и описанный многоугольники так, чтобы угол из центра окружности на соответствующие стороны был общим. Найдётся парочка равнобедренных подобных треугольников, про которые известно достаточно много. Должно хватить этих данных, теоремы Пифагора и какого-нибудь подобия.
А в ЕГЭ нужно полное решение? или достаточно угадать нужный ответ? Второе можно легко вычислить по частным случаям.

-- 17.07.2015, 14:20 --

Исправил смысловые опечатки.

Это задание не из ЕГЭ. Здесь нужно просто угадать ответ. Я и попытался сначала сделать по частному случаю: с правильным треугольником. Но тогда ответ получилось выразить через $b$.
А так я решил задачу по тем формулам выше - получается $a=b\cos{\alpha}$,где $\alpha=\frac{\pi}{n}$. А косинус выразить через тангенс, получается ответ: $\frac{2bR}{\sqrt{4R^2+b^2}}$.
Но попробую решить, как Вы сказали, а то надеяться на эти формулы..

[iancaple]

Проще: половина стороны вписанного является высотой в прямоугольном треугольнике с катетами $R$ и $\dfrac b2$

[grizzly]

PeanoJr в сообщении #1038049 писал(а):

Я и попытался сначала сделать по частному случаю: с правильным треугольником. ... ответ получилось выразить через $b$.

Я имел в виду ещё проще. Взять самый простой случай: $R=1$, $n=4$. Тогда $b=2$ и $x=\sqrt 2$. Подставить в варианты теста $R,b$ и посмотреть, какой из них даёт нужный $x$ на выходе.

[PeanoJr]

grizzly в сообщении #1038052 писал(а):

PeanoJr в сообщении #1038049 писал(а):

Я и попытался сначала сделать по частному случаю: с правильным треугольником. ... ответ получилось выразить через $b$.

Я имел в виду ещё проще. Взять самый простой случай: $R=1$, $n=4$. Тогда $b=2$ и $x=\sqrt 2$. Подставить в варианты теста $R,b$ и посмотреть, какой из них даёт нужный $x$ на выходе.

Понял:) Вы правы, большую часть заданий в этих тестах рациональнее всего решать именно так, а некоторые ещё и совсем не отличаются адекватностью)

[TOTAL]

iancaple в сообщении #1038050 писал(а):

Проще: половина стороны вписанного является высотой в прямоугольном треугольнике с катетами $R$ и $\dfrac b2$

Это то же самое, что уже упомянутое подобие:

$$\dfrac{a/2}{R}=\dfrac{b/2}{\sqrt{R^2 + b^2 /4}}$$