Задача на кватернионы

[student1138]

Добрый день. Читаю учебник Винберга, дошел до такой задачи (страница 41):

Цитата:

Доказать, что в алгебре $L_2(\mathbb{C})$, рассматриваемой как алгебра над $\mathbb{R}$, матрицы вида $\left(\begin{array}{cc}a&-\bar{b}\\b&\bar{a}\end{array}\right)$ образуют подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

Действую следующим образом: пусть $\varphi$ - отображение ставящее в соответствие кватерниону $h=a + bj$ матрицу вида $\left(\begin{array}{cc}a&-\bar{b}\\b&\bar{a}\end{array}\right)$.

Пробую проверить что $\varphi(h_1h_2) = \varphi(h_1)\varphi(h_2)$.

1) Смотрю чему равно $h_1h_2$ и $\varphi(h_1h_2)$:

Пусть
$h_1 = a_1 + b_1j$
$h_2 = a_2 + b_2j$.

Тогда их произведение равно
$h_1h_2 = (a_1 + b_1j)(a_2 + b_2j) = a_1a_2 + b_1a_2j + b_2a_1j - b_1b_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (b_1a_2 + b_2a_1)j$

Соответственно $\varphi$ от этого прозведения равно

$ \begin{equation*} \tag{1} \varphi(h_1h_2) = \left(\begin{array}{cc}a_1a_2 - b_1b_2&-(\overline{b_1a_2 + b_2a_1})\\b_1a_2 + b_2a_1&\overline{a_1a_2 - b_1b_2}\end{array}\right) \end{equation*} $

2) Теперь смотрю чему равно $\varphi(h_1)\varphi(h_2)$:

Пусть
$\varphi(h_1) = \left(\begin{array}{cc} a_1 & -\overline{b_1}\\ b_1 & \overline{a_1} \end{array}\right)$

$\varphi(h_2) = \left(\begin{array}{cc} a_2 & -\overline{b_2}\\ b_2 & \overline{a_2} \end{array}\right)$

Тогда их произведение равно:
$ \begin{equation*} \varphi(h_1)\varphi(h_2) = \left(\begin{array}{cc} a_1a_2 - \overline{b_1}b_2 & -a_1\overline{b_2} - \overline{b_1}\overline{a_2}\\ b_1a_2 + \overline{a_1}b_2 & -b_1\overline{b_2} + \overline{a_1}\overline{a_2} \end{array}\right) \end{equation*} $


В результате получается что $\varphi(h_1h_2) \neq \varphi(h_1)\varphi(h_2)$. Однако должно было бы оказаться равно. Помогите, пожалуйста, понять где я ошибся.

[Cash]

Ну очень странный "изоморфизм" у вас. У алгебры кватернионов размерность 4. А сколько базисных элементов задействовано у вас? Куда остальные перейдут?
И да, ошибок у вас нет. Вы четко показали, что данное отображение - не то.

[student1138]

Cash в сообщении #1037516 писал(а):

Ну очень странный "изоморфизм" у вас. У алгебры кватернионов размерность 4. А сколько базисных элементов задействовано у вас? Куда остальные перейдут?
И да, ошибок у вас нет. Вы четко показали, что данное отображение - не то.

На всякий случай поясню что a и b здесь - комплексные числа. Кватернион представлен как $h = a + bj$.
Если $a = a_1 + b_1i$, $b = a_2 + b_2i$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ - действительные, то
$h = (a_1 + b_1i) + (a_2 + b_2i)j = a_1 + b_1i + a_2j + b_2ij = a_1 + b_1i + a_2j + b_2k $. Т.е. вроде бы все в порядке с представлением кватерниона.

А изоморфизм я пытался построить прямо по определению из учебника: изомофизм структур $\{M, +\}$ и $\{N, *\}$ это биективное отображение $\varphi: M \to N$ такое что $\varphi(m_1+m_2) = \varphi(m_1)*\varphi(m_2)$. Здесь $+$ и $*$ - это условные обозначения операций (не буквально "плюс" и "умножить").

А в данном конкретном случае проверялись алгебра кватернионов с операцией умножения и алгебра $L_2(\mathbb{C})$ тоже с операцией умножения.

Это конечно не полная проверка изоморфизма т.к. надо еще проверить операцию сложения и умножения на элемент поля. Но вот начал с этого и сразу - расхождение.

[Cash]

Элементам $1, i, j, k$ какие матрицы будут соответствовать?

[mihiv]

$b_1ja_2=b_1\overline {a_2}j$, потому что , когда $j$ и $i$ меняете местами, меняется знак.

[student1138]

mihiv в сообщении #1037550 писал(а):

$b_1ja_2=b_1\overline {a_2}j$, потому что , когда $j$ и $i$ меняете местами, меняется знак.

Но ведь в выражении о котором идет речь $b_1$ и $a_2$ это действительные числа. Возможно, немного неудачно выбрал обозначения, что $a$ и $b$ это комплексные а $a_1, b_1, a_2, b_2$ это действительные, но в учебнике было так, решил не отклоняться.

-- 15.07.2015, 20:29 --

Cash в сообщении #1037541 писал(а):

Элементам $1, i, j, k$ какие матрицы будут соответствовать?

Всем элементам будет соответствовать матрица $\left(\begin{array}{cc}a&-\bar{b}\\b&\bar{a}\end{array}\right)$.

Где в соответствии с выражением :
$h = a_1 + b_1i + a_2j + b_2k $

$a$ и $b$ должны быть равны:

Для элемента 1:
$a = (1, 0)$
$b = (0, 0)$

Для элемента i:
$a = (0, 1)$
$b = (0, 0)$

Для элемента j:
$a = (0, 0)$
$b = (1, 0)$

Для элемента k:
$a = (0, 0)$
$b = (0, 1)$

Дополню: если взять немного другую матрицу (убрать комплексное сопряжение):
$\left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right)$, то вроде бы все сходится. Но вот и в учебнике и в википедии приведена матрица именно с комплексно-сопряженными числами в одном столбце/строке. Так что где-то я ошибся наверное только вот пока не понимаю где.

[Cash]

Проверьте равенства $IJ=-JI=K, JK=-KJ=I, KI=-IK=J$ и $I^2=J^2=K^2=-E$

[mihiv]

Вы же сами пишете:

student1138 в сообщении #1037527 писал(а):

На всякий случай поясню что a и b здесь - комплексные числа. Кватернион представлен как $h=a+bj$

На это указывает и знак комплексного сопряжения над $a_1,b_1$ и т.д.

[student1138]

mihiv в сообщении #1037557 писал(а):

Вы же сами пишете:

student1138 в сообщении #1037527 писал(а):

На всякий случай поясню что a и b здесь - комплексные числа. Кватернион представлен как $h=a+bj$

На это указывает и знак комплексного сопряжения над $a_1,b_1$ и т.д.

Да я тут сам себя запутал в одной части текста использую $a_1,b_1$ как комплексные, в другой как действительные. Я понял ваше предыдущее замечание насчет ошибки при перемене мест множителей. Буду проверять. Спасибо.

-- 15.07.2015, 21:18 --

Ура, спасибо mihiv, после исправления двух ошибок в выражении $h_1h_2$, все сошлось.

Более подробно:
$ h_1h_2 = (a_1 + b_1j)(a_2 + b_2j) = a_1a_2 + b_1ja_2 + a_1b_2j + b_1jb_2j = a_1a_2 + b_1\overline{a_2}j + a_1b_2j + b_1\overline{b_2}jj = a_1a_2 - b_1\overline{b_2} + b_1\overline{a_2}j + a_1b_2j = (a_1a_2 - b_1\overline{b_2}) + (b_1\overline{a_2} + a_1b_2)j $

Только есть небольшой нюанс, "сработала" матрица не такая как в Винберге, а такая как в Википедии:

$\varphi(h) = \left(\begin{array}{cc} a & b\\ -\overline{b} & \overline{a} \end{array}\right)$

Но это уже сути не меняет