2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на кватернионы
Сообщение15.07.2015, 18:39 


03/07/15
200
Добрый день. Читаю учебник Винберга, дошел до такой задачи (страница 41):
Цитата:
Доказать, что в алгебре $L_2(\mathbb{C})$, рассматриваемой как алгебра над $\mathbb{R}$, матрицы вида $\left(\begin{array}{cc}a&-\bar{b}\\b&\bar{a}\end{array}\right)$ образуют подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

Действую следующим образом: пусть $\varphi$ - отображение ставящее в соответствие кватерниону $h=a + bj$ матрицу вида $\left(\begin{array}{cc}a&-\bar{b}\\b&\bar{a}\end{array}\right)$.

Пробую проверить что $\varphi(h_1h_2) = \varphi(h_1)\varphi(h_2)$.

1) Смотрю чему равно $h_1h_2$ и $\varphi(h_1h_2)$:

Пусть
$h_1 = a_1 + b_1j$
$h_2 = a_2 + b_2j$.

Тогда их произведение равно
$h_1h_2 = (a_1 + b_1j)(a_2 + b_2j) = a_1a_2 + b_1a_2j + b_2a_1j - b_1b_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (b_1a_2 + b_2a_1)j$

Соответственно $\varphi$ от этого прозведения равно

$
\begin{equation*}
\tag{1}
\varphi(h_1h_2) = \left(\begin{array}{cc}a_1a_2 - b_1b_2&-(\overline{b_1a_2 + b_2a_1})\\b_1a_2 + b_2a_1&\overline{a_1a_2 - b_1b_2}\end{array}\right)
\end{equation*}
$

2) Теперь смотрю чему равно $\varphi(h_1)\varphi(h_2)$:

Пусть
$\varphi(h_1) = \left(\begin{array}{cc}
a_1   &   -\overline{b_1}\\
b_1   &   \overline{a_1}
\end{array}\right)$

$\varphi(h_2) = \left(\begin{array}{cc}
a_2   &   -\overline{b_2}\\
b_2   &   \overline{a_2}
\end{array}\right)$

Тогда их произведение равно:
$
\begin{equation*}
\varphi(h_1)\varphi(h_2) = \left(\begin{array}{cc}
a_1a_2 - \overline{b_1}b_2   &   -a_1\overline{b_2} - \overline{b_1}\overline{a_2}\\
b_1a_2 + \overline{a_1}b_2  &   -b_1\overline{b_2} + \overline{a_1}\overline{a_2}
\end{array}\right)
\end{equation*}
$


В результате получается что $\varphi(h_1h_2) \neq \varphi(h_1)\varphi(h_2)$. Однако должно было бы оказаться равно. Помогите, пожалуйста, понять где я ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на кватернионы
Сообщение15.07.2015, 19:02 
Заслуженный участник


12/09/10
1538
Ну очень странный "изоморфизм" у вас. У алгебры кватернионов размерность 4. А сколько базисных элементов задействовано у вас? Куда остальные перейдут?
И да, ошибок у вас нет. Вы четко показали, что данное отображение - не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на кватернионы
Сообщение15.07.2015, 19:36 


03/07/15
200
Cash в сообщении #1037516 писал(а):
Ну очень странный "изоморфизм" у вас. У алгебры кватернионов размерность 4. А сколько базисных элементов задействовано у вас? Куда остальные перейдут?
И да, ошибок у вас нет. Вы четко показали, что данное отображение - не то.


На всякий случай поясню что a и b здесь - комплексные числа. Кватернион представлен как $h = a + bj$.
Если $a = a_1 + b_1i$, $b = a_2 + b_2i$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ - действительные, то
$h = (a_1 + b_1i) + (a_2 + b_2i)j = a_1 + b_1i + a_2j + b_2ij = a_1 + b_1i + a_2j + b_2k $. Т.е. вроде бы все в порядке с представлением кватерниона.

А изоморфизм я пытался построить прямо по определению из учебника: изомофизм структур $\{M, +\}$ и $\{N, *\}$ это биективное отображение $\varphi: M \to N$ такое что $\varphi(m_1+m_2) = \varphi(m_1)*\varphi(m_2)$. Здесь $+$ и $*$ - это условные обозначения операций (не буквально "плюс" и "умножить").

А в данном конкретном случае проверялись алгебра кватернионов с операцией умножения и алгебра $L_2(\mathbb{C})$ тоже с операцией умножения.

Это конечно не полная проверка изоморфизма т.к. надо еще проверить операцию сложения и умножения на элемент поля. Но вот начал с этого и сразу - расхождение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на кватернионы
Сообщение15.07.2015, 20:02 
Заслуженный участник


12/09/10
1538
Элементам $1, i, j, k$ какие матрицы будут соответствовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на кватернионы
Сообщение15.07.2015, 20:23 
Заслуженный участник


03/01/09
1506
москва
$b_1ja_2=b_1\overline {a_2}j$, потому что , когда $j$ и $i$ меняете местами, меняется знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на кватернионы
Сообщение15.07.2015, 20:27 


03/07/15
200
mihiv в сообщении #1037550 писал(а):
$b_1ja_2=b_1\overline {a_2}j$, потому что , когда $j$ и $i$ меняете местами, меняется знак.


Но ведь в выражении о котором идет речь $b_1$ и $a_2$ это действительные числа. Возможно, немного неудачно выбрал обозначения, что $a$ и $b$ это комплексные а $a_1, b_1, a_2, b_2$ это действительные, но в учебнике было так, решил не отклоняться.

-- 15.07.2015, 20:29 --

Cash в сообщении #1037541 писал(а):
Элементам $1, i, j, k$ какие матрицы будут соответствовать?


Всем элементам будет соответствовать матрица $\left(\begin{array}{cc}a&-\bar{b}\\b&\bar{a}\end{array}\right)$.

Где в соответствии с выражением :
$h = a_1 + b_1i + a_2j + b_2k $

$a$ и $b$ должны быть равны:

Для элемента 1:
$a = (1, 0)$
$b = (0, 0)$

Для элемента i:
$a = (0, 1)$
$b = (0, 0)$

Для элемента j:
$a = (0, 0)$
$b = (1, 0)$

Для элемента k:
$a = (0, 0)$
$b = (0, 1)$

Дополню: если взять немного другую матрицу (убрать комплексное сопряжение):
$\left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right)$, то вроде бы все сходится. Но вот и в учебнике и в википедии приведена матрица именно с комплексно-сопряженными числами в одном столбце/строке. Так что где-то я ошибся наверное только вот пока не понимаю где.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на кватернионы
Сообщение15.07.2015, 20:38 
Заслуженный участник


12/09/10
1538
Проверьте равенства $IJ=-JI=K, JK=-KJ=I, KI=-IK=J$ и $I^2=J^2=K^2=-E$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на кватернионы
Сообщение15.07.2015, 20:41 
Заслуженный участник


03/01/09
1506
москва
Вы же сами пишете:
student1138 в сообщении #1037527 писал(а):
На всякий случай поясню что a и b здесь - комплексные числа. Кватернион представлен как $h=a+bj$
На это указывает и знак комплексного сопряжения над $a_1,b_1$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на кватернионы
Сообщение15.07.2015, 21:02 


03/07/15
200
mihiv в сообщении #1037557 писал(а):
Вы же сами пишете:
student1138 в сообщении #1037527 писал(а):
На всякий случай поясню что a и b здесь - комплексные числа. Кватернион представлен как $h=a+bj$
На это указывает и знак комплексного сопряжения над $a_1,b_1$ и т.д.


Да я тут сам себя запутал в одной части текста использую $a_1,b_1$ как комплексные, в другой как действительные. Я понял ваше предыдущее замечание насчет ошибки при перемене мест множителей. Буду проверять. Спасибо.

-- 15.07.2015, 21:18 --

Ура, спасибо mihiv, после исправления двух ошибок в выражении $h_1h_2$, все сошлось.

Более подробно:
$
h_1h_2 = (a_1 + b_1j)(a_2 + b_2j)

= a_1a_2 + b_1ja_2 + a_1b_2j + b_1jb_2j

= a_1a_2 + b_1\overline{a_2}j + a_1b_2j + b_1\overline{b_2}jj

= a_1a_2 - b_1\overline{b_2} + b_1\overline{a_2}j + a_1b_2j

= (a_1a_2 - b_1\overline{b_2}) + (b_1\overline{a_2} + a_1b_2)j
$

Только есть небольшой нюанс, "сработала" матрица не такая как в Винберге, а такая как в Википедии:

$\varphi(h) = \left(\begin{array}{cc}
a   &  b\\
-\overline{b}   &   \overline{a}
\end{array}\right)$

Но это уже сути не меняет

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group