Эквивалентность определений измеримости по Жордану

[kp9r4d]

Надо доказать, что два определения эквивалентны измеримости по Жордану множества $E$:
1) Инфимум мер всех внутренних покрытий элементарными множествами равен супремуму мер всех внешних покрытий.
2) Для любого $\varepsilon>0$ можно найти такое элементарное множество $B$, что $m^*(E \Delta B) < \varepsilon$.
Из 1 получить 2 понятно как. Найдём такое внешние покрытие $A$ и такое внутреннее покрытие $B$ что $m(A) - m(B) < \varepsilon$. Тогда
Тогда $m^*(A \Delta B) \leqslant m^*(A \setminus B) = m(A) - m(B) < \varepsilon$.
А в другую сторону непонятно.

[g______d]

Найдите такое элементарное множество $C$, что $E\Delta B\subset C$ и $m(C)< m^*(E\Delta B)+\varepsilon$.

Потом рассмотрите $B\cup C$ и $B\setminus C$.

[VladimirKr]

Элементарное множество - это конечное объединение элементов полукольца, на котором задана мера $m$, из которой строится внешняя мера $m^*$?
Тогда п 2) есть вариант определения измеримости по Лебегу.
И пункты 1) и 2) не эквивалентны. Контрпример: линейная мера Лебега на $[0,1]$, множество $E:=[0,1]\setminus\mathbb Q$

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1036985 писал(а):

2) Для любого $\varepsilon>0$ можно найти такое элементарное множество $B$, что $m^*(E \Delta B) < \varepsilon$.

Это фактически означает (независимо от того, что понимается под эм со звёздочкой), что некоторое "элементарное" покрытие множества $E \Delta B$ имеет меру меньше эпсилона. Но тогда объединение этого покрытия с $B$ будет внешним покрытием $E$, а разность -- внутренним "покрытием".

(что за дикая терминология)

[Null]

(Ошибка)

ewert в сообщении #1037330 писал(а):

Но тогда объединение этого покрытия с $B$ будет внешним покрытием $E$, а разность -- внутренним "покрытием".

Это не правда, они могут быть не элементрными. Как уже сказанно VladimirKr первое это измеримость по Жордану, а второе по Лебегу.

[ewert]

Это смотря что понимать под $m^*$, и смотря что понимать под внешней мерой, если это она. В жордановом случае понятие внешней меры если и вводится, то лишь как инфимум по только конечно-прямоугольным множествам, т.к. распространение его на счётно-прямоугольные в этом случае для построения теории бесполезно.

[VladimirKr]

Конечно! Упоминание Жордана меня смутило.
Для сигмааддитивной меры $m$, заданной на полукольце c единицей и генерирующей меру $m^*$, если называть элементы полукольца элементарными множествами, два определения измеримости по Жордану Лебегу множества $E$ эквивалентны:
1) Инфимум сумм мер всех не более чем счетных внутренних покрытий элементарными множествами равен супремуму сумм мер всех внешних не более чем счетных покрытий.
2) Для любого $\varepsilon>0$ можно найти такое элементарное множество $B$, что $m^*(E \Delta B) < \varepsilon$.

[ewert]

VladimirKr в сообщении #1037381 писал(а):

1) Инфимум сумм мер всех не более чем счетных внутренних покрытий

Это как раз именно по Жордану (после замены счётности на конечность), но никак не по Лебегу. И именно это различие между Жорданом и Лебегом наиболее принципиально (счётность -- в определённом смысле уже во вторую очередь).

[grizzly]

А меня даже первое определение смущает. Что такое внутреннее покрытие? (для меня эти слова плохо сочетаются). И если это первое, что приходит в голову, тогда почему для мер этих множеств нужно брать инфимум, а не наоборот? Думаю, что это всё действительно сильно выдрано из контекста, скорее всего из неродноязычного -- с трудностями перевода.

[ewert]

grizzly в сообщении #1037407 писал(а):

И если это первое, что приходит в голову, тогда почему для мер этих множеств нужно брать инфимум, а не наоборот?

Это явная опечатка: трудно представить хоть какой-то источник, в котором нечто внешнее лежало бы внутри внутреннего.

[grizzly]

ewert в сообщении #1037409 писал(а):

Это явная опечатка

Конечно, но я о другом. Я хотел сказать, что это не копипаста из задачника, а, вероятно, какой-то пересказ своими словами проекции задачи на сознание ТС.

(Если честно, я для учебной задачи даже доказательство из 1 в 2 предпочёл бы видеть в более аккуратной записи.)

[ewert]

grizzly в сообщении #1037412 писал(а):

я для учебной задачи даже доказательство из 1 в 2 предпочёл бы видеть в более аккуратной записи

Нет, там было всё нормально: это ж и не претендовало на "доказательство", а для "понятно как" -- вполне достаточно.

[g______d]

ewert в сообщении #1037330 писал(а):

Это фактически означает (независимо от того, что понимается под эм со звёздочкой), что некоторое "элементарное" покрытие множества $E \Delta B$ имеет меру меньше эпсилона. Но тогда объединение этого покрытия с $B$ будет внешним покрытием $E$, а разность -- внутренним "покрытием".

По-моему, это ничем не отличается от написанного мной, ну да ладно.

Из фразы в пункте 1, действительно, очевидно, что $m^*$ обозначает именно внешнюю меру Жордана (т. е. $\inf$ мер всех внешних покрытий элементарными множествами).

VladimirKr в сообщении #1037381 писал(а):

два определения измеримости по Жордану Лебегу множества $E$ эквивалентны:
1) Инфимум сумм мер всех не более чем счетных внутренних покрытий элементарными множествами равен супремуму сумм мер всех внешних не более чем счетных покрытий.

Существует канторово множество, измеримое по Лебегу и имеющее положительную меру. Очевидно, что любое его элементарное подмножество имеет меру Лебега нуль.

[ewert]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1037441 писал(а):

По-моему, это ничем не отличается от написанного мной

Виноват. "Чукча -- не читатель, чукча -- писатель".

g______d в сообщении #1037441 писал(а):

Существует канторово множество, измеримое по Лебегу и имеющее положительную меру. Очевидно, что любое его элементарное подмножество имеет меру Лебега нуль.

Алаверды от

VladimirKr в сообщении #1037056 писал(а):

Контрпример: линейная мера Лебега на $[0,1]$, множество $E:=[0,1]\setminus\mathbb Q$

[g______d]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1037448 писал(а):

Алаверды от

Действительно. Аналогично,

ewert в сообщении #1037448 писал(а):

Виноват. "Чукча -- не читатель, чукча -- писатель".