Переход от счетных множеств к континууму

[Freude]

Цитата:

Что Вы понимаете под "гомоморфным отображением"?

Под гомоморфным отображением я понимаю отображение одного множества в другое, при котором между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Цитата:

Неограниченного счётного множества

Множество с бесконечным числом элементов, мощность которого, равна мощности множества натурального ряда чисел.

Цитата:

Предела последовательности метрических пространств.

Мне кажется определение такого понятия не существует, на мой непрофессиональный взгляд это эрунда какая-то.

Цитата:

Множества, получающегося из него в результате устремления расстояния между соседними точками к нулю.

Этого я не знаю.

Добавлено спустя 3 минуты 36 секунд:

Цитата:

То есть вы сначала заявили, что какая-то-там операция - не гомоморфизм, а потом на вопрос "в смысле??"

Это по определению понятно. Разве возможно гомоморфно отобразить множество с мощностью континуума на счетное множество. Очевидно, что нет.

Виноват, "гомоморфизм" спутал с "гомеоморфизмом".

[AD]

Freude писал(а):

Мне кажется определение такого понятия не существует, на мой непрофессиональный взгляд это эрунда какая-то.

Вот и я говорю. А вы тут нам рассказываете, что надо взять метрическое пространство, а потом "устремить расстояние к нулю". Это оно и есть.

Freude писал(а):

Множество с бесконечным числом элементов, мощность которого, равна мощности множества натурального ряда чисел.

То есть обыкновенное счетное множество.

Freude писал(а):

Под гомоморфным отображением я понимаю отображение одного множества в другое, при котором между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Это вообще-то называется "биекция".

Добавлено спустя 1 минуту 41 секунду:

Freude писал(а):

Это по определению понятно. Разве возможно гомоморфно отобразить множество с мощностью континуума на счетное множество. Очевидно, что нет.

Но это не мешает операции над множествами (а не над их точками - мы такую и не определяли даже) быть гомоморфизмом в каком-нибудь-смысле. Вы запутались.

Добавлено спустя 51 секунду:

Freude писал(а):

Виноват, "гомоморфизм" спутал с "гомеоморфизмом".

Гомеоморфизм - это вообще топологическое понятие.

[Freude]

Цитата:

То есть обыкновенное счетное множество.

Непонял. А Вы думали я имею в виду необыкновенное? Да, вы правы, биекция.

Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду:

Хорошо, спасибо.

[Профессор Снэйп]

Freude писал(а):

Цитата:

Множества, получающегося из него в результате устремления расстояния между соседними точками к нулю.

Этого я не знаю.

Но тем не менее Вы об этом спрашиваете! Получается "скажи мне то, сам не знаю что". Перечитайте свои сообщения!

Добавлено спустя 2 минуты 16 секунд:

AD писал(а):

Freude писал(а):

Это по определению понятно. Разве возможно гомоморфно отобразить множество с мощностью континуума на счетное множество. Очевидно, что нет.

Но это не мешает операции над множествами (а не над их точками - мы такую и не определяли даже) быть гомоморфизмом в каком-нибудь-смысле. Вы запутались.

Это называется не "операция", а "функтор". Прежде чем о них разговаривать, нужно определиться с категориями. А для начала почитать какой-нибудь учебник по гомологической алгебре, чтобы не спрашивать невпопад и не попадать пальцем в небо.

[Freude]

А Вы как хотели? "Скажи мне то, сам знаю что?"

Добавлено спустя 1 минуту 20 секунд:

Цитата:

почитать какой-нибудь учебник по гомологической алгебре

Спасибо за реккомендацию, профессор. Именно этим сейчас и займусь.

Цитата:

спрашивать невпопад и не попадать пальцем в небо

Постараюсь отныне спрашивать впопад и не попадать пальцем в небо.

[AD]

Freude писал(а):

А Вы как хотели? "Скажи мне то, сам знаю что?"

Ну да ... Вот если бы вы спросили "как найти площадь Пушкина", я бы сразу ответил - умножить длину на ширину. Ну, самые зануды упомянули бы про поверхностный интеграл что-нибудь. А когда спрашивают "что будет, если устремить расстояние между соседними точками к нулю, правда, мне кажется определение такого понятия не существует, на мой непрофессиональный взгляд это эрунда какая-то", то я сдаюсь.

Профессор Снэйп писал(а):

Это называется не "операция", а "функтор".

Ага, есть такое дело ...

[Профессор Снэйп]

Кое-что любопытное касательно математической терминологии.

[Dan B-Yallay]

Freude писал(а):

Пусть у нас имется неограниченное счетное множество, на котором задано метрическое пространство. Получим ли мы множество с мощностью континуума, если устремим расстояния между соседними точками к нулю. Интуитивно полагаю, что нет.

Множество рациональных чисел - есть пространство неограниченное, счетное и с метрикой. Если объясните какие именно точки в $\mathbb{Q}$ вы называете соседними и каково расстояние между ними, тогда возможно вопрос станет немного понятнее.