2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Следствие из сходимости
Сообщение12.07.2015, 19:11 


07/04/15
244
Given a sequence $a_n$ such that $a_n-a_{n-2}\to 0$ as $n\to\infty$, show that
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{n}=0$$

Запишем $a_n-a_{n-1}=(a_n-a_{n-2})+(a_{n-2}-a_{n-4})$.
Из сходимости $a_n-a_{n-2}\to 0$, $\forall n>n_0: |a_n-a_{n-2}|\leq\frac{\varepsilon}{2}$
Но тогда для $n>n_0+4$: $a_n-a_{n-1}=(a_n-a_{n-2})+(a_{n-2}-a_{n-4})\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$, значит
$a_n-a_{n-1}$ cходится к нулю. Тогда и требуемое утверждение выполнено.

Кажется я где-то ошибаюсь :( Или все ок?

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие из сходимости
Сообщение12.07.2015, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Так там 1 или 4?

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие из сходимости
Сообщение12.07.2015, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
2old в сообщении #1036272 писал(а):
$a_n-a_{n-1}=(a_n-a_{n-2})+(a_{n-2}-a_{n-4})$.
Это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие из сходимости
Сообщение12.07.2015, 19:21 


07/04/15
244
Устал. Извините :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие из сходимости
Сообщение12.07.2015, 19:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
2old в сообщении #1036272 писал(а):
, значит
$a_n-a_{n-1}$ cходится к нулю.

Это утверждение никак не может быть верным: условие задачи непосредственно накладывает ограничения только на чётную и нечётную подпоследовательности, и если, скажем, оно выполнено для чётной, то можно задать нечётную как чётную, сдвинутую на константу.

А вот задать её прибавлением к чётной чего-то сильно возрастающего -- уже не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие из сходимости
Сообщение12.07.2015, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Подсказка: показать, что $b_m-b_{m-1}\to 0$ влечет что $b_m/m \to 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие из сходимости
Сообщение12.07.2015, 20:40 


07/04/15
244
Red_Herring
Это следует напрямую из теоремы Штольца, где $\{b_n\}=n$ Но как сюда привязать не знаю :(
Плохо написал, потому что вы тоже $b_m$ обозначили :) Распишу, чтобы не было путаницы, что имею ввиду
$\lim\frac{b_m-b_{m-1}}{m-(m-1)}=\lim b_m-b_{m-1}=0$ Последовательность $m$ монотонно возрастает и неограничена, тогда по теореме Штольца: $\lim\frac{b_m-b_{m-1}}{m-(m-1)}=\lim\frac{b_{m-1}}{m-1}=0$



Запишем:
$a_n-a_{n-1}=[(a_n-a_{n-2})-(a_{n-1}-a_{n-3})]-(a_{n-3}-a_{n-2})$
$a_{n-2}-a_{n-3}=[(a_{n-2}-a_{n-4})-(a_{n-3}-a_{n-5})]-(a_{n-4}-a_{n-5})$

Подставляя второе в первое и так далее, видим, что число слагаемых с разностью между двумя четными членами будет расти линейно. А в хвостике оставим $a_{n_0}-a_{n_0-1}$, т.е. какое-то конкретное число, тогда:
$$a_n-a_{n-1}\leq n\varepsilon+a_{n_0}-a_{n_0-1}$$
$$\frac{a_n-a_{n-1}}{n}\leq\varepsilon+C/n\Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{n}=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие из сходимости
Сообщение12.07.2015, 20:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Я бы подсказал так (в деталях буду заведомо неточен, но быть точным и лень, и неспортивно).

Вот, допустим, забрались мы в такую даль, где $|a_m-a_{m+2}|<\varepsilon$. И захотелось тут вдруг $a_{m-1}$ отскочить от $a_{m-2}$ на эм (неважно, в какую сторону). Что остаётся $a_m$? -- правильно, отскочить обратно; не ближе, чем на $m-\varepsilon$, но и не далее, чем на $m+\varepsilon$; затем $a_{m+1}$ от $a_m$ -- снова в ту же, но не далее, чем на $m+2\varepsilon$ и т.д. Т.е. верхний предел $\frac{|a_{n+1}-a_n|}n$... и это при живом-то муже любом-то эпсилоне...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group