Следствие из сходимости

[2old]

Given a sequence $a_n$ such that $a_n-a_{n-2}\to 0$ as $n\to\infty$, show that

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{n}=0$$

Запишем $a_n-a_{n-1}=(a_n-a_{n-2})+(a_{n-2}-a_{n-4})$.
Из сходимости $a_n-a_{n-2}\to 0$, $\forall n>n_0: |a_n-a_{n-2}|\leq\frac{\varepsilon}{2}$
Но тогда для $n>n_0+4$: $a_n-a_{n-1}=(a_n-a_{n-2})+(a_{n-2}-a_{n-4})\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$, значит
$a_n-a_{n-1}$ cходится к нулю. Тогда и требуемое утверждение выполнено.

Кажется я где-то ошибаюсь :( Или все ок?

[Xaositect]

Так там 1 или 4?

[amon]

2old в сообщении #1036272 писал(а):

$a_n-a_{n-1}=(a_n-a_{n-2})+(a_{n-2}-a_{n-4})$.

Это как?

[2old]

Устал. Извините

[ewert]

2old в сообщении #1036272 писал(а):

, значит
$a_n-a_{n-1}$ cходится к нулю.

Это утверждение никак не может быть верным: условие задачи непосредственно накладывает ограничения только на чётную и нечётную подпоследовательности, и если, скажем, оно выполнено для чётной, то можно задать нечётную как чётную, сдвинутую на константу.

А вот задать её прибавлением к чётной чего-то сильно возрастающего -- уже не получится.

[Red_Herring]

Подсказка: показать, что $b_m-b_{m-1}\to 0$ влечет что $b_m/m \to 0$.

[2old]

Red_Herring
Это следует напрямую из теоремы Штольца, где $\{b_n\}=n$ Но как сюда привязать не знаю :(
Плохо написал, потому что вы тоже $b_m$ обозначили :) Распишу, чтобы не было путаницы, что имею ввиду
$\lim\frac{b_m-b_{m-1}}{m-(m-1)}=\lim b_m-b_{m-1}=0$ Последовательность $m$ монотонно возрастает и неограничена, тогда по теореме Штольца: $\lim\frac{b_m-b_{m-1}}{m-(m-1)}=\lim\frac{b_{m-1}}{m-1}=0$



Запишем:
$a_n-a_{n-1}=[(a_n-a_{n-2})-(a_{n-1}-a_{n-3})]-(a_{n-3}-a_{n-2})$
$a_{n-2}-a_{n-3}=[(a_{n-2}-a_{n-4})-(a_{n-3}-a_{n-5})]-(a_{n-4}-a_{n-5})$

Подставляя второе в первое и так далее, видим, что число слагаемых с разностью между двумя четными членами будет расти линейно. А в хвостике оставим $a_{n_0}-a_{n_0-1}$, т.е. какое-то конкретное число, тогда:

$$a_n-a_{n-1}\leq n\varepsilon+a_{n_0}-a_{n_0-1}$$

$$\frac{a_n-a_{n-1}}{n}\leq\varepsilon+C/n\Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{n}=0$$

[ewert]

Я бы подсказал так (в деталях буду заведомо неточен, но быть точным и лень, и неспортивно).

Вот, допустим, забрались мы в такую даль, где $|a_m-a_{m+2}|<\varepsilon$. И захотелось тут вдруг $a_{m-1}$ отскочить от $a_{m-2}$ на эм (неважно, в какую сторону). Что остаётся $a_m$? -- правильно, отскочить обратно; не ближе, чем на $m-\varepsilon$, но и не далее, чем на $m+\varepsilon$; затем $a_{m+1}$ от $a_m$ -- снова в ту же, но не далее, чем на $m+2\varepsilon$ и т.д. Т.е. верхний предел $\frac{|a_{n+1}-a_n|}n$... и это при живом-то муже любом-то эпсилоне...