Снова про пи

[AD]

Видимо, sergmirdin вообще не въехал в тему, и у него, судя по цитате

sergmirdin писал(а):

путь между двумя точками короче, чем движение по "зиг-загу"

понятие "несоизмеримость" перепуталась с понятием "неравенство".

[sergmirdin]

Да въехал...я говорил-какой интерес старше- к квадрату или кругу...
А AD по привычке слова муштрует... .В таком случае грамотней сказать "не понял темы"....

[Профессор Снэйп]

sergmirdin писал(а):

Да въехал...я говорил-какой интерес старше- к квадрату или кругу...
А AD по привычке слова муштрует... .В таком случае грамотней сказать "не понял темы"....

На студенческом сленге "не прошарил"

[geomath]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну что значит сложнее? Мы же математики, знаем, что всё зависит от того, как определить сложность.

Правильно, если $\sqrt{2}$ и $\pi$ записать в виде цепной дроби, то $\sqrt{2}$ покажется нам бесконечно более простым, чем $\pi$. Но это только потому, что нам как наблюдателям периодичность, повторяемость почему-то кажется более простым свойством, чем непериодичность. Однако можно представить себе, так сказать, стохастического наблюдателя, которому сложна всякая периодическая последовательность, тогда как всякая случайная последовательность ему понятна, это его стихия. Если же сложность числа - это длина доказательства некоторого его свойства, то и тогда можно вообразить себе подходящего наблюдателя... Я хочу сказать, что сложность вряд ли присуща числу самому по себе, это скорее точка зрения наблюдателя.

Возьмем для сравнения зрение и слух, похожие на $\pi$ и $\sqrt{2}$. Да, зрение кажется нам сложнее слуха, и развитие техники связи, радио и телевидения, это подтверждает. Однако помимо сложности они еще и возникли в разное время: слух возник раньше, чем зрение. А у чисел этой эволюционной составляющей вроде бы нет, они вроде как все одного возраста, даже если введены они в разное время. Я считаю, что это неправильно, это всего лишь наша "иллюзия" или "близорукость". Хотя я готов ослабить свою позицию: пусть не числа имеют "возраст", но фигуры, их представляющие. Вот квадрат: он сложнее или нет, но он "старше" круга для любого наблюдателя. Может быть, здесь уместнее какие-то другие слова, но все же это не "сложность"...

[Бодигрим]

Я знаю, что такое взаимнопростые числа. А вот что такое "бесконечно более простые" - нет. Еще я знаю, что такое полиномиально и неполиномиально сложные алгоритмы. А вот что такое сложность числа - нет. И вообще, конституция учит, что все числа равны между собой и нельзя дискриминировать какие-то из них по сложности или простоте.

[geomath]

Бодигрим писал(а):

Я знаю, что такое взаимнопростые числа. А вот что такое "бесконечно более простые" - нет.

Разложение $\sqrt{2}$ в цепную дробь такое: 1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2...
Чувствуете бесконечную простоту?

Цитата:

Еще я знаю, что такое полиномиально и неполиномиально сложные алгоритмы. А вот что такое сложность числа - нет. И вообще, конституция учит, что все числа равны между собой и нельзя дискриминировать какие-то из них по сложности или простоте.

А "дискриминировать" на простые и составные можно?

[Brukvalub]

Под сложностью числа можно понимать сложность по Колмогорову последовательности знаков в его двоичной записи.

[sergmirdin]

Цитата:

Может, представление о квадрате как бы старше, чем о круге? Или как бы интеллектуальнее? Или наоборот?

Цитата:

Чувствуете бесконечную простоту?

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Под сложностью числа можно понимать сложность по Колмогорову последовательности знаков в его двоичной записи.

Почему именно в двоичной? Чтобы отождествлять число с подмножеством $\mathbb{N}$ или по каким-то другим причинам?

geomath писал(а):

Разложение $\sqrt{2}$ в цепную дробь такое: 1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2...
Чувствуете бесконечную простоту?

Аналогичный вопрос. Указанная последовательность действительно довольно просто устроена, но почему нужно брать именно разложение в цепную дробь, а не что-то иное? Ту же двоичную запись, к примеру. Или десятичную? Или вообще что-то иное?

[geomath]

geomath писал(а):

Вот квадрат: он сложнее или нет, но он "старше" круга для любого наблюдателя. Может быть, здесь уместнее какие-то другие слова, но все же это не "сложность"...

Насчет "любого наблюдателя" - это я погорячился. И на "возрасте", пожалуй, я настаивать не буду...

Профессор Снэйп писал(а):

Аналогичный вопрос. Указанная последовательность действительно довольно просто устроена, но почему нужно брать именно разложение в цепную дробь, а не что-то иное? Ту же двоичную запись, к примеру. Или десятичную? Или вообще что-то иное?

Вы же сами говорили, что все зависит от определения. А я бы сказал, что все - и определение тоже - зависит от наблюдателя, субъекта. Поэтому наблюдателя надо вводить в теорию в явном виде!

[Henrylee]

geomath писал(а):

А я бы сказал, что все - и определение тоже - зависит от наблюдателя, субъекта. Поэтому наблюдателя надо вводить в теорию в явном виде!

причем наблюдатель должен быть непрерывен, да и вообще не иметь "особенностей"

[Gordmit]

В некотором смысле, $\pi$ более иррационально, чем $\sqrt{2}$ (а именно, в смысле меры иррациональности). Мера иррациональности $\sqrt{2}$ равна 2, т.к. оно алгебраическое. А вот для меры $\pi$, помнится, была оценка сверху что-то около 8, а нижней оценки я, к сожалению, не знаю...

[RIP]

Gordmit писал(а):

а нижней оценки я, к сожалению, не знаю...

А единственная нижняя оценка, которая известна, это 2, так что не факт, что $\pi$ более иррационально, чем $\sqrt2$ (в этом смысле).
P.S. А верхнюю, кстати, недавно опустили до $7.6...$.

[geomath]

В сборнике задач "Алгебра и теория чисел" для математических школ перечислены и как бы упорядочены константы, "наиболее часто возникающие в задачах". Вот эти константы:

$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\pi$, $e$, $\varphi$.

Но насколько "часто" возникают они друг относительно друга, ничего не сказано. Поэтому у меня вопрос: что можно сказать априори об эмпирическом распределении (о гистограмме) дискретной случайной величины, принимающей математические константы в качестве своих значений, на примере этого сборника? Посколько $\sqrt{2}$ и $\pi$ как бы начинают свои ряды, то для начала можно обойтись только ими двумя. Конечно, было бы неплохо взять и прямо подсчитать количество вхождений символов этих констант в явном виде (а неявные их вхождения типа ln не учитывать). Однако прежде чем проводить эксперимент, следует, согласно известному правилу, оценить хотя бы с 30-% точностью, что же мы ожидаем получить...

[sergmirdin]

Читаю и вспоминаю Добчинского и Бобчинского, поссорились, а из-за чего не помнят.
Источник спора:

Цитата:

Ведь диаметр круга тоже несоизмерим с его периметром. В чем причина? Может, представление о квадрате как бы старше, чем о круге? Или как бы интеллектуальнее? Или наоборот?

а тут похоже опять многие грудь надули -кто круче.... главное термин позаковыристей.

Короче -ответ на цитату:
Представление (изучение в практическом смысле )о квадрате -как бы старше, а вот круг -интеллектуальней. Ведь возглас "Эврика" - тоже следствие практического исследования, а не интеллектуального (в смысле созерцательного размышления).
А что сложней или проще -это уже все относительно.