Снова про пи

[Евгений Машеров]

geomath

Вопрос о том, соизмерима ли длина круга с его диаметром, существенно сложнее вопроса о соизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Доказательство несоизмеримости весьма просто, ясно, и может быть включено в программу школьных математических кружков (где и пребывало). Доказательство несоизмеримости длины круга и его диаметра существенно сложнее, и средствами античной математики вряд ли могло быть получено.

[Nigilist]

Евгений Машеров

Цитата:

Вопрос о том, соизмерима ли длина круга с его диаметром, существенно сложнее вопроса о соизмеримости диагонали квадрата с его стороной.

А какая разница что сложней ? Все уже история - вот историки и философы пусть и ломают голову.
Причем тут математика?

[shwedka]

А в том дело, что математика-слишком сложно. Нужно определения учить, теоремы там новые доказывать. Мозгой, в общем, шевелить. А основы ниспровергать можно, частей тела и ума не напрягая.

Вот я сегодня весь день проторчала за компом, статью шлифуя. В общем, на организм и интеллект немалая нагрузка. Даже в процессе грамматической шлифовки новое знание проявляется. И когда от того синела, на кнопочку мышкой жала --- и о, отдохновение!!! Ярцев там, Любарцев и похожие знатоки. Что бы я без вас, коллеги, делала!! Если вас прикроют модераторы--- кошку, что ли, завести??

[Nigilist]

shwedka

Цитата:

Нужно определения учить, теоремы там новые доказывать

Вот именно новое доказывать. А здесь что-то новое доказывали?

Цитата:

основы ниспровергать

Если основа заключается в усвоении и изучении , что 2+2 это легко, а 2х2 это сложно.....извините -какая то примитивная основа.

[bot]

Nigilist писал(а):

Если основа заключается в усвоении и изучении , что 2+2 это легко, а 2х2 это сложно.....извините -какая то примитивная основа.

Тем более, что и основы нет. Прежде чем обсуждать - надо чётко сформулировать, что означает легко, а что трудно - говорили уж об этом и не раз. А пока это сравнение не сформулировано - это просто трёп.

Вот, скажем, где-то на планете Х исходя из своей модели Хеано (Пеано по нашему) построили свой натуральный ряд. Если перевести на наш язык, то просто надо наше сложение загнать в показатель по какому-нибудь основанию. Определили хложение - это наше умножение.
Оставлю в стороне этапы построения множества хействительных чисел - сначала хациональные, а потом их пополнение так или иначе. Нашёлся один чувак алгеброидного типа - значок такой хитрый придумал, свойствами изоморфизма обладающий, хогарифмом его назвал. С его помощью пополнил множество хействительных чисел - это формальные образы ихних отрицательных чисел (напомню, меньших 1 по-нашему) и соответственно операцию новую придумал arcхложение - сложение по нашему. Долго эту хрень принимать не хотели, но наконец приняли - удобно оказалось. Долго ли коротко, но нашёлся ещё один чувак - он как раз занимался оценками сложности разных алгоритмов, вот и задался вопросом - что легче, 2х2 или 2+2?

Возьмём другую планету Y, обитатели живут по одну сторону от прямолинейной по-нашему стенки, а к этой стенке их так и тянет прислониться. Вот и прямая по их представлениям - это наша окружность, касающаяся этой стенки. Расстояние между точками меряют по части дуги, содержащей точку касания. На их линейку нам даже смотреть смешно - она же переменного радиуса, а им это нипочём, глаз у них от природы на это заточен.
Квадрат у них что-то сложновастенько выглядит, а что с окружностью? О-о-п-с, кажется перебрал - она даже не для всякого положительного радиуса существует ... Ну, извиняйте, не шмог с наскоку ... Ну и что, не получилось с одного раза - может получиться с другого, пусть не у меня, так у кого-нибудь ещё.
Было бы ради чего стараться.

[shust]

Если рассмотрение того, что

Nigilist писал(а):

...2+2 это легко, а 2х2 это сложно....

,
то 2^2 это как: сверхсложно что ли?

bot писал(а):

...что легче, 2х2 или 2+2?

Чего размениваться по мелочам и выяснять, что сложнее: $2+2$, $2*2$ или $2^2$ .

Возьмите быка за рога и попробуйте решить эту проблему в более общем постановке, а именно докажите, что при всех натуральных $n=1,2,3,4,...$ верно равенство
$2[n]2=4$
- в обозначениях общего действия http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=95513#95513 или
$A(n,2,2)=4$
- в обозначениях функции Аккермана варианта FA3 http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=93907#93907, тогда и вопрос отпадет, что сложнее доказывать (и сколько раз надо доказывать).

В привычных обозначениях верно, что $2+2=2*2=2^2=...=4$ .

[Коровьев]

"Дважды два четыре
Знают в целом мире"
/Из детской песенки/
Но.

Цитата:

Математические логики ставят под сомнение даже те идеи, которые другие математики столетиями считали незыблемыми. Например, закон трихотомии утверждает, что каждое целое число либо отрицательно, либо положительно, либо равно нулю. Это утверждение казалось очевидным, и математики всегда молчаливо предполагали, что оно истинно, но никто никогда не потрудился проверить, так ли это. Логики поняли, что до тех пор, пока истинность закона трихотомии не доказана, его утверждение может оказаться ложным, а если оно окажется ложным, то рухнет все опирающееся на него здание знаний. К счастью для математики, истинность закона трихотомии была доказана в конце XIX века.

http://rrc.dgu.ru/res/mikel.altonika.ru/fermat/ch4.htm
А то, что
$2*2=4$
Ещё надо доказать. Мат.логикам.

[Свободный Художник]

geomath писал(а):

Вот говорят, что греки открыли несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной и это их страшно поразило. Спрашивается, почему они открыли это на примере именно квадрата, а не круга?

Ну, да, именно “страшно поразило”. Вроде как, сие открытие считается “первым научным кризисом”.
Я коллекционирую материалы по этой проблематике:
http://px-pict.com/7/3/1/10.html

В частности, здесь выложены самые первые доказательства этой несоизмеримости:
http://px-pict.com/7/3/1/10/2.html

Почему именно квадрат сподобился стать первым?
Есть гипотеза, что это произошло вследствие специфики теоретической математики на ранних этапах ее развития.
На этих ранних этапах она активно прилагалась к задачам теории музыки, где, в частности, рассматривалась задача деления интервала октавы на две равные части. Полученные в результате такого деления интервалы должны были быть представлены как отношения натуральных чисел. Но это оказалось невозможным сделать.

[bot]

shust писал(а):

Чего размениваться по мелочам и выяснять, что сложнее: $2+2, \ 2\cdot 2$ или $2^2$

shust писал(а):

... в обозначениях функции Аккермана...

А почему именно функция Аккермана, а не что-либо другое?
Я ведь и говорил, что сначала надо задать, что означает легче/сложнее, тогда и возникнет предмет для обсуждения. Есть другие способы решения проблемы, вплоть до её устранения.
Как сказал один гаец, надо отнимать и делить, а не складывать, да умножать. Это точно проще.

Добавлено спустя 8 минут 4 секунды:

Коровьев писал(а):

А то, что $2\cdot 2=4$
Ещё надо доказать.

Хорошее упражнение для начинающих изучать логику.

[Nigilist]

shwedka

Цитата:

Нужно определения учить, теоремы там новые доказывать

Удалено
Не хочу повторяться.

[shust]

bot писал(а):

А почему именно функция Аккермана, а не что-либо другое?

Потому,что функция Аккермана, как впрочем и общее действие, дают возможность рассмотреть числовые операции в виде переменной, принимающей числовые значения.
Такой подход дает много больше возможностей, чем рассмотрение действий по отдельности.

Проведу аналогию со свойством коммутативности сложения. Можно доказывать по отдельности, что например
$1+2=2+1$, $1+3=3+1$, $2+3=3+2$ и т.д. Это долго, муторно, да и нет возможности доказать при таком подходе закон коммутативности для всех слагаемых, количество которых потенциально бесконечно много.
Но, как известно, рассмотрение слагаемых в виде числовых переменных и позволяет достаточно просто и сразу, например, для всех натуральных чисел $n$ и $m$ доказать коммутативность сложения:
$n+m=m+n$ .

Поэтому и предлагается доказать общее общее равенство
$A(n,2,2)=4$ при $\forall$ $n\in N$, а затем путем подстановки (не новых доказательств!) установить, что при значении $n=1,2,3$ имеют места равенства:
$A(1,2,2)=4$ или $2+2=4$
$A(2,2,2)=4$ или $2*2=4$
$A(3,2,2)=4$ или $2^2=4$ .

При данном подходе сложность выражений $2+2$, $2*2$ или $2^2$ будет одинакова.

[Бодигрим]

shust, прежде чем доказывать что либо о (и вообще: говорить о) "сложности выражения", надо дать определение этого понятия. В чем, как и для каких объектов она измеряется?

[AD]

shust писал(а):

функция Аккермана, как впрочем и общее действие, дают возможность рассмотреть числовые операции в виде переменной, принимающей числовые значения.

Бррр. Ниччё не понял. Операция в виде переменной? Да еще и принимающей числовые значения?

[shust]

AD писал(а):

shust писал(а):

функция Аккермана, как впрочем и общее действие, дают возможность рассмотреть числовые операции в виде переменной, принимающей числовые значения.

Бррр. Ниччё не понял. Операция в виде переменной? Да еще и принимающей числовые значения?

Эта моя фраза является очень сокращенным изложеним идеи, которую ниже я излагаю более аккуратно, подробно и, надеюсь, более понятно. Первый абзац http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=108009#108009 можно читать в следующей редакции:
------------------
Потому,что функция Аккермана, как впрочем и общее действие, дают возможность рассмотреть последовательность арифметических операций $x+y, x*y, x^y$ в виде единого объекта - например функции $A(z,x,y)$, в которой переменная $z$ принимает значения из множества натуральных чисел, которые можно поставить в соответствие символьным обозначением этих операций, например, согласно таблице
1 2 3
+ * ^ .
Такой подход дает много больше возможностей, чем рассмотрение действий по отдельности.
-------------------
Далее по тексту сообщения.

[AD]

Нет, ну что вы книжку опять свою рекламируете --- это я понял. И что сокращенно --- тоже понял. Но нельзя же сокращать до такой степени, чтобы получалась "операция в виде переменной". Короче, я не "искренне ничего не понял и хочу разобраться", а выпендриваюсь, пытаясь намекнуть, что ну так низя.