Наивный вопрос по КТП

[Blancke_K]

Господа, помогите, пожалуйста, разобраться с таким вопросом: вот в учебнике Пескина-Шредера в 7-й главе вычисляется следующий матричный элемент:

$<\Omega|\psi(x)|\lambda_{p}>$, где $|\Omega>$ - основное состояние гамильтониана $H$, а $|\lambda_{\vec{p}}>$ - это какое-либо другое собственное состояние $H$, повернутое на буст $\vec{p}$, а $\psi(x)$ это скалярное поле. (в этой книжке используются обозначения $x=(x^{0},\vec{x})$, $p=(p^{0},\vec{p})$, $xp=x^{0}p^{0}-\vec{x}\vec{p}$ ну и так далее; еще не ставятся шляпки над операторами).

Вводится оператор 4-х импульса $P=(H,\vec{P})$. С помощью него поле можно записать как $\psi(x)=e^{iPx}\psi(0)e^{-iPx}$. Дальше выполняется следующая цепочка преобразований:

$<\Omega|e^{iPx}\psi(0)e^{-iPx}|\lambda_{\vec{p}}>=<\Omega|\psi(0)|\lambda_{\vec{p}}>e^{-ipx}$, где $p$ (маленькое) - собственное значение оператора 4-х импульса $P$ в данном состоянии. Следующий шаг:

$<\Omega|\psi(0)|\lambda_{\vec{p}}>e^{-ipx}=<\Omega|\psi(0)|\lambda_{0}>e^{-ipx}$.

Объясняется данное неравенство тем, что если $U(\vec{p})$ - буст, переводящий$|\lambda_{0}>$ в $|\lambda_{\vec{p}}>$, то $<\Omega|=<\Omega|U^{-1}$ (лоренц-инвариантность вакуума) и $U^{-1}\psi(0)U=\psi(0)$.

Последнее равенство мне не понятно. То есть вроде интуитивно понятно, но объяснить его формально не получается. Может быть, кто-то даст подсказку?

И еще вопрос немного не по теме: почему лоренц-инвариантность вакуума считается очевидной? В КЭД, например, это понятно: электрический заряд лоренц-инвариантен и если в данном состоянии зарядов нет, то сколько ни вращай четырехмерное пространство, в данном состоянии их не появится. А в общем случае произвольного поля? Наверное, можно просто как-то от противного доказать, но я в книжках док-ва не видел, а сам сходу не могу сообразить.

-- 11.07.2015, 15:48 --

(Оффтоп)

А нет какого-то более удачного обозначения бра и кет в Latex?

-- 11.07.2015, 16:15 --

Я видимо туплю. У нас ведь $\psi$ как оператор является только функцией координат и поэтому бусты его никак не затрагивают, верно? Если так, то остается только вопрос по поводу вакуума. Правда, они после $U^{-1}\psi(0)U=\psi(0)$ делают пометку: "for a field with spin we would need to keep track of its nontrivial Lorentz transformation", - это к чему?

[arseniiv]

(Про бра и кет.)

Blancke_K в сообщении #1035743 писал(а):

А нет какого-то более удачного обозначения бра и кет в Latex?

Есть. Угловые скобки набираются \langle и \rangle: $\langle\phi|A|\psi\rangle$ (наводите указатель на формулы, чтобы увидеть код).

[Blancke_K]

(Оффтоп)

Спасибо, буду знать! Жаль, что уже не исправить сообщение. Извиняюсь, что не по теме, может кто-то подскажет: существуют Latex редакторы, которые потом позволяют переводить напечатанное в ворд?

-- 11.07.2015, 17:37 --

Blancke_K в сообщении #1035743 писал(а):

Я видимо туплю. У нас ведь $\psi$ как оператор является только функцией координат и поэтому бусты его никак не затрагивают, верно? Если так, то остается только вопрос по поводу вакуума. Правда, они после $U^{-1}\psi(0)U=\psi(0)$ делают пометку: "for a field with spin we would need to keep track of its nontrivial Lorentz transformation", - это к чему?

Подумал еще немного и понял: нет, не совсем так. Буст $U(\vec{p})$ (или просто $U$) нужен был нам для: $|\lambda_{\vec{p}}\rangle=U|\lambda_{0}\rangle$. Разумеется, применяя этот буст к $\psi(x)$ мы получим: $U^{-1}\psi(x)U\neq \psi(x)$. Но при этом $U^{-1}\psi(0)U=\psi(0)$. И эта мелочь мне все-таки непонятна.

[Blancke_K]

Просьба кого-нибудь проверить, я наконец-то врубился: введенный нами буст $U(\vec{p})$ живет в группе Лоренца - подгруппе группы Пуанкаре, которая has nothing to do with началом координат 4-х мерного пространства (является однородной). То есть, если операторная функция $\psi$ рассматривается в начале координат, то мы ее никак из начала координат не вытащим с помощью преобразований из группы Лоренца. Обидно, что столько времени потрачено на такую глупость

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1035775 писал(а):

Извиняюсь, что не по теме, может кто-то подскажет: существуют Latex редакторы, которые потом позволяют переводить напечатанное в ворд?

Наберите в гугле "latex2word" - ничего лучшего (imho), чем выдаст поисковик, не существует. И, если не секрет, зачем оно Вам?

-- 13.07.2015, 13:41 --

Blancke_K в сообщении #1035743 писал(а):

И еще вопрос немного не по теме: почему лоренц-инвариантность вакуума считается очевидной? В КЭД, например, это понятно: электрический заряд лоренц-инвариантен и если в данном состоянии зарядов нет, то сколько ни вращай четырехмерное пространство, в данном состоянии их не появится. А в общем случае произвольного поля?

Считается, что все ИСО равноправны при описании всех физических явлений (типа, эмпирический факт). Математически это выражается, как инвариантность/ковариантность относительно группы Пуанкаре (ну и Лоренца).

[Blancke_K]

Walker_XXI

(Оффтоп)

нашел уже такую прогу. Я просто пишу обзор для своего руководителя кафедры, который скорее всего запросит его в ворде. Хотя может и нет, не знаю

[Walker_XXI]

Blancke_K в сообщении #1035777 писал(а):

делают пометку: "for a field with spin we would need to keep track of its nontrivial Lorentz transformation", - это к чему?

Это к тому, что поля со спином описываются спинорными/векторными/тензорными представлениями группы Лоренца и, соответственно, при данном бусте их компоненты должны преобразовываться соответствующим образом (просто для скаляра это преобразование тривиально).

[Blancke_K]

Walker_XXI
Спасибо! Ну я так понимаю, что рез-т будет такой же, просто док-во чуть сложнее.

[Floating point]

(Оффтоп)

Blancke_K
есть еще такой онлайн наборщик, может пригодится
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

[Blancke_K]

Floating point
И Вам спасибо)