Помогите разобраться со знаками

[AndAll]

Помогите разобраться со знаками $ \ll $ и $ \gg $

ГОСТ 7.71-96 дает такое наименование этих символов
Много меньше (Much less than)
Много больше (Much greater than)

Однако,

Цитата:

Then RH is equivalent to each of the following statements

$M\left( x \right) \ll x^{1/2 + \varepsilon } $

for every positive $\varepsilon $

В то же время известно, что Odlyzko и te Riele показали, что

$\mathop {\lim \inf }\limits_{x \to + \infty } \frac{{M\left( x \right)}} {{\sqrt x }} < - 1.009,\,\,\mathop {\lim \sup }\limits_{x \to + \infty } \frac{{M\left( x \right)}} {{\sqrt x }} > 1.06$

И еще:

Цитата:

… The Riemann Hypothesis is equivalent to the assertion $\[{\text{N(T) = N}}_{\text{0}} {\text{(T)}}\]$ for all T. Selberg proved that $\[{\text{N}}_{\text{0}} {\text{(T)}} \gg {\text{N(T)}}\]$

.
Каков же точный смысл этих символов?

[PAV]

Точного и общепринятого смысла не существует. В каждой конкретной работе (книги, статье и т.д.), где этот символ используется, должно быть указано точное определение.

"Много меньше" и "много больше" - это одно из популярных использований. Но бывает еще и такое: пишут, что $f(x)\ll g(x)$, если существует константа $c$, такая что $f(x)< cg(x)$ для всех $x$. Как я понимаю, здесь в работе имеется в виду именно это.

[AndAll]

PAV писал(а):

Точного и общепринятого смысла не существует. В каждой конкретной работе (книги, статье и т.д.), где этот символ используется, должно быть указано точное определение.

В том то и дело, что ни в одной статье не дано точного определения.
Единственное «определение», которое удалось мне найти – наименование (не определение) этих символов из ГОСТа.
Корректно ли в таком случае использование в математических текстах знаков, для которых «точного и общепринятого смысла не существует»?

[PAV]

Если в той конкретной статье, которую Вы читаете, и в которой данный символ используется, действительно отсутствует его определение, то автор не прав. Но поищите внимательно, может быть, оно приведено где-то незаметно в тексте (скажем, где символ использован первый раз). Если в книге - то, может быть, в начале или в конце дан список обозначений. Все-таки обычно в нормальных работах таких ляпов быть не должно.

[Профессор Снэйп]

Возможно, у этого символа есть значение, общепринятое в какой-то конкретной области и статья написана как раз специалистом в этой области. А в смежных областях это обозначение не принято и его не знают.

Пример: если какой-то математический текст написан специалистом по матлогике, то в этом тексте $\omega$ скорее всего обозначает натуральный ряд. И даже если статья посвящена теории чисел (скажем, ВТФ), специалист по теории чисел может долго ломать голову над тем, что там за $\omega$ такая в тексте встречается безо всяких пояснений. А для человека, статью писавшего, употребить $\omega$ столь же естественно, как употребить $\mathbb{N}$: последний же символ вряд ли кому-то нужно дополнительно пояснять.

[AndAll]

Это взято из статьи "THE RIEMANN HYPOTHESIS" Американского Института Математики.
Это не просто символ, а математический знак (хотя найдутся люди, считающие, что между ними разницы нет), такой же как +, -, =, <, >.
А на применение знаков должны быть наложены более жесткие условия, чем на остальные символы.
Даже П. Хэлмош в своем "Кошмаре математика" не стал покушаться на знаки.

[Бодигрим]

Цитата:

А на применение знаков должны быть наложены более жесткие условия, чем на остальные символы.

Простите, кому должны?

Гипотеза Римана - это аналитическая теория чисел. В этой области _общепринятым_ является то значение символов $\ll$ и $\gg$, которое указал выше PAV. Так что вполне допустимо даже то, что авторы оставили их использование без разъяснений.

[AndAll]

Бодигрим писал(а):

Гипотеза Римана - это аналитическая теория чисел. В этой области _общепринятым_ является то значение символов $\ll$ и $\gg$, которое указал выше PAV. Так что вполне допустимо даже то, что авторы оставили их использование без разъяснений.

Спасибо PAV и Бодигрим , этого вполне достаточно. Просто я нигде в имеющейся у меня литературе не нашел никакого описания значений этих символов.

[RIP]

Кстати, символ $\ll$ в указанном PAVом смысле называется "знак Виноградова".
Существует ещё одно значение этого символа (см., например, Полиа Г., Сеге Г. — Задачи и теоремы из анализа (часть 1), отдел I, глава 1, \$5): для формальных степенных рядов $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\in\mathbb C[[z]]$, $g(z)=\sum_{n=0}^\infty b_nz^n\in\mathbb R[[z]]$ запись $f\ll g$ означает, что при всех $n\ge0$ выполняется $|a_n|\le b_n$.
А в значении "много меньше" в математике этот символ практически не употребляется (или просто я не ту литературу читаю ).

[Бодигрим]

Еще, когда $x$ - вектор, через $x\gg0$ иногда обозначают $x\in\mathbb{R}^n_+\setminus\{0\}$. У нас был казус, когда один недалекий лектор, компилируя курс, расшифровывал его как "вектор $x$ много больше нуля".