2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 12:19 


05/11/11
101
Нужно найти производную функции: $(13^{1+8x-2x^2})'$. Решил по формуле для сложной функции: $(u(v))'=u'(v) \cdot v'$. Но где тут внешняя а где внутренняя функция? Ну вроде 13 это внешняя и она константа. Производная константы равна нулю, получается и всё выражение равно нулю. Чушь какая то.

Пробуем по формуле для показательной функции: $(a^x)'=a^x \ln a$. Вроде подходит, решаем: $(13^{1+8x-2x^2})=13^{1+8x-2x^2} \cdot \ln 13$. Ну вроде всё красиво. Смотрим ответ: $(13^{1+8x-2x^2})' = 13^{1+8x-2x^2} \cdot (-4x+8) $ и мой ответ неверен :facepalm: При том в правильном ответе как по формуле для производной показательной функции саму функцию просто переписали, а затем зачем то нашли производную показателя как по формуле для сложной функции. Ничего не понимаю. Вразумите пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ваш первый вариант - правильный, только получилось неправильно. Второй вариант плохой, потому что у Вас здесь нет ничего в степени $x$; неудивительно, что вышло опять неправильно. В учебнике тоже неправильно.

-- менее минуты назад --

Из кусков всех приведённых вариантов можно составить правильный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Представьте функцию $f(x)=13^{1+8x-2x^2}$ в виде сложной функции: $f(x)=h(g(x))$ (выпишите функции $h(g)$ и $g(x)$ в явном виде). Вот $h$ — внешняя функция, а $g$ — внутренняя.

А на калькуляторе Вы свою функцию вычислять умеете? Вот последнее действие, которое Вы при вычислении делаете, и есть "внешняя функция".

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Gybkabob в сообщении #1035089 писал(а):
Ну вроде 13 это внешняя и она константа.
Чему равна Ваша функция в точке $x=1$?
В какой точке функция 13 равна тому же самому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 12:53 
Аватара пользователя


08/08/14

991
Москва
а если через произведение, суммарная степень равна произведению степеней

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 20:28 


05/11/11
101
Someone в сообщении #1035093 писал(а):
Представьте функцию $f(x)=13^{1+8x-2x^2}$ в виде сложной функции: $f(x)=h(g(x))$ (выпишите функции $h(g)$ и $g(x)$ в явном виде). Вот $h$ — внешняя функция, а $g$ — внутренняя.

А на калькуляторе Вы свою функцию вычислять умеете? Вот последнее действие, которое Вы при вычислении делаете, и есть "внешняя функция".


Получается $13^{1+8x-2x^2}$ - внешняя функция, а $1+8x-2x^2$ внутренняя? Тогда по формуле: $(u(v))'=u'(v) \cdot v' = (13^{1+8x-2x^2})' \cdot (1+8x-2x^2) \cdot (1+8x-2x^2)'  $. Чепуха какая то выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Безусловно чепуха. Потому что ерунду написали. Напишите в моих обозначениях: $h(g)=\ldots$ и $g(x)=\ldots$. В выражении для $h(g)$ никакого $x$ не должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 21:19 


05/11/11
101
Вот: $h^{g(x)}$

В это и проблема. Я слабо понимаю где-тут что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Gybkabob в сообщении #1035283 писал(а):
Вот: $h^{g(x)}$
Ничего подобного. Ваша функция $f(x)=13^{1+8x-2x^2}$ должна быть записана в виде $f(x)=h(g(x))$. Никаких "$h$ в степени". Вам нужно выписать функции $h(g)$ и $g(x)$, суперпозиция которых даёт вашу функцию.

Могу посоветовать взять таблицу производных и заучить её в том виде, как она там приведена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение09.07.2015, 22:41 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Gybkabob в сообщении #1035283 писал(а):
Я слабо понимаю где-тут что.
Начните с чего попроще.
Вот $f(x)=2x$, $g(x)=\sin(x)$. Чему равны $f(g(x))$ и $g(f(x))$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение10.07.2015, 09:49 


05/11/11
101
Nemiroff в сообщении #1035311 писал(а):
Gybkabob в сообщении #1035283 писал(а):
Я слабо понимаю где-тут что.
Начните с чего попроще.
Вот $f(x)=2x$, $g(x)=\sin(x)$. Чему равны $f(g(x))$ и $g(f(x))$?

$g(f(x))=\sin {2x}$

$f(g(x))$ - а вот здесь не понимаю. $f(g(x))=2\sin x$? $2x\sin x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение10.07.2015, 10:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Gybkabob в сообщении #1035392 писал(а):
$f(g(x))$ - а вот здесь не понимаю. $f(g(x))=2\sin x$? $2x\sin x$?
Ну давайте ещё проще. Дано: $f(x)=2x$. Чему равны $f(3)$ и $f(y)$? Как Вы это получили из $f(x)$? (Обязательно сформулируйте ответ на этот вопрос.) А чему равны $f(\square)$ и $f(3x)$? Наконец, чему равно $f(\sin x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение10.07.2015, 10:30 


05/11/11
101
Someone в сообщении #1035398 писал(а):
Gybkabob в сообщении #1035392 писал(а):
$f(g(x))$ - а вот здесь не понимаю. $f(g(x))=2\sin x$? $2x\sin x$?
Ну давайте ещё проще. Дано: $f(x)=2x$. Чему равны $f(3)$ и $f(y)$? Как Вы это получили из $f(x)$? (Обязательно сформулируйте ответ на этот вопрос.) А чему равны $f(\square)$ и $f(3x)$? Наконец, чему равно $f(\sin x)$?

f(x) это функциональная зависимость, где f - значение функции, а x - закон по которому функция зависит от неизвестной. Поставляя значения в закон заместо неизвестной получаем значение функции. Если $f(x)=2x$ - закон по которому находят значение функции f равен $2x$, то $f(3)=2 \cdot 3 = 6$; $f(y)= 2 \cdot y$.

$f(\square)$ это $\sqrt{f}$? Если да, то $\sqrt{f}=\sqrt{2x}$
$f(3x)=2\cdot 3x=6x$

$f(\sin x)$ учитывая, что $f(x)=2x$, то $f(\sin x)=2\sin x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение10.07.2015, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Gybkabob в сообщении #1035406 писал(а):
f(x) это функциональная зависимость, где f - значение функции, а x - закон по которому функция зависит от неизвестной.
Бред. $f$ и $x$ — это символы. Символ $f$ обозначает функцию, а $x$ — переменную. $f(x)$ (иногда $fx$ или даже $xf$) обозначает значение функции. $f(abcd\ldots)$ обозначает то, что получится, если в определении функции f(x) всюду заменить символ $x$ на $abcd\ldots)$.

Gybkabob в сообщении #1035406 писал(а):
$f(\square)$ это $\sqrt{f}$? Если да, то $\sqrt{f}=\sqrt{2x}$
Снова бред. $f(\square)=2\square$.

Gybkabob в сообщении #1035406 писал(а):
$f(\sin x)=2\sin x$
Вот это правильно. В определении функции $f(x)=2x$ заменяем $x$ на $\sin x$ и получаем $f(\sin x)=2\sin x$.

Теперь неплохо бы вернуться к вашей функции $f(x)=13^{1+8x-2x^2}$. Её нужно представить как суперпозицию двух функций: $f(x)=h(g(x))$. Какими должны быть функции $h(u)$ и $g(x)$, чтобы, заменив в определении $h(u)$ переменную $u$ на определение функции $g(x)$, получить вашу функцию $f(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная степенной функции или сложной?
Сообщение11.07.2015, 14:50 


05/11/11
101
Someone в сообщении #1035440 писал(а):
Снова бред. $f(\square)=2\square$.

Думал квадрат это опечатка.

Уж больно простые примеры.

Someone в сообщении #1035440 писал(а):
Теперь неплохо бы вернуться к вашей функции $f(x)=13^{1+8x-2x^2}$. Её нужно представить как суперпозицию двух функций: $f(x)=h(g(x))$. Какими должны быть функции $h(u)$ и $g(x)$, чтобы, заменив в определении $h(u)$ переменную $u$ на определение функции $g(x)$, получить вашу функцию $f(x)$?

Хорошо. Пусть $h(u)=13u$ (тут переменная обозначается соответcвенно как $u$, а не как $x$) а $g(x)=13^{8x-2x^2}$. Тогда $h(g(x))=13 \cdot 13^{8x-2x^2} = 13^{1+8x-2x^2}$. Готово. Только проблемы это не решило :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group