Полнота рациональных чисел

[Ward]

Здравствуйте!

Пусть $p\in \mathbb{Q}$ такое, что $p^2>3$. Показать, что существует $\varepsilon>0$ такое, что $p-\varepsilon \in \mathbb{Q}$ и $(p-\varepsilon)^2>3$.

Я попытался так: Я взял $\varepsilon=1/n$ и раскрываем скобки и получаем: $p^2-2p/n+1/n^2>3$. Как тут дальше быть?

Помогите пожалуйста

[ИСН]

Какое из желаемых условий у Вас ещё не выполнено?

[ewert]

Ward в сообщении #1035091 писал(а):

получаем: $p^2-2p/n+1/n^2>3$. Как тут дальше быть?

Не надо было вообще брать именно эн. Но раз уж взяли -- так возьмите его достаточно большим; таким, чтобы третье слагаемое оказалось меньше половины, скажем, второго.

[ИСН]

ewert в сообщении #1035098 писал(а):

Не надо было вообще брать именно эн.

Да, разумеется, лучше $q$.

[Legioner93]

Хм, а если вы всё успешно построите, разве это что-то скажет про (не)полноту рациональных чисел? По-моему, делать нужно немного другое. Или это какая-то другая полнота?

[iifat]

Ну, не очень понятно, что так уж принципиально изменилось. Вместо существования $\varepsilon$ надо доказать существование $n$.

Ward в сообщении #1035091 писал(а):

Как тут дальше быть?

Дальше — доказывать существование решения при заданном $p$. Вы умеете решать квадратные неравенства?

-- 09.07.2015, 19:48 --

Legioner93 в сообщении #1035101 писал(а):

а если вы всё успешно построите, разве это что-то скажет про (не)полноту рациональных чисел?

Если построит — почти ничего. Вот если не построит — докажет неполноту

-- 09.07.2015, 19:51 --

Собственно, и квадратных уравнений не нужно.

[ewert]

Legioner93 в сообщении #1035101 писал(а):

разве это что-то скажет про (не)полноту рациональных чисел?

Что-то скажет. Т.е. скажет ровно половину неполноты (там ещё нужно аналогичное утверждение с противоположной стороны).

iifat в сообщении #1035102 писал(а):

Вы умеете решать квадратные неравенства?

Если умеет, то это очень плохо. Он пока что не имеет права их уметь. Пока что понятия квадратного корня ещё нет.

[iifat]

ewert в сообщении #1035110 писал(а):

пока что не имеет права их уметь

Логично. Уже сообразил.
В этом месте почему-то многие не осознают, что не нужно, собственно, решать неравенство. Нужно доказать, что такие решения есть, и найти хотя бы одно из них.

[Ward]

Уважаемый ewert
я вот взял $n$ достаточно большим, чтобы $1/n^2<p/n$.
Дальше не совсем понятно. Хотя вот что получается: $p^2-2p/n+p/n>p^2-2p/n+1/n^2>3$
если первое неравенство выполнено, то не факт что выполнено второе. Понимаете о чем я?

-- 09.07.2015, 18:20 --

Хотя я сделал так: у меня получается: $\dfrac{1-2pn}{n^2}>3-p^2.$ Тогда $\dfrac{2pn-1}{n^2}<p^2-3$ при больших $n$ и конечно же если $p>0$ будет $2pn-1<3np$ и получается $3p/n<p^2-3$ и отсюда $n>\dfrac{3p}{p^2-3}$

[ewert]

Ward в сообщении #1035206 писал(а):

Понимаете о чем я?

Не очень. А вот что Вы должны понимать -- так это смысл стоящей перед Вами задачи. Вам дано, что $p^2-3=\delta>0$. Подобрать же требуется такое $\varepsilon>0$, что $(p-\varepsilon)^2-3$ по-прежнему $>0$. Откуда получается простенькое неравенство, связывающее эпсилон с дельтой. Оно, к сожалению, квадратное по эпсилонам. Но, к счастью, при заданном $p$ при всех достаточно малых эпсилонах (причём граница малости выписывается вполне рационально) это неравенство огрубляется до линейного.

[Ward]

Уважаемый ewert
а как же то, что я написал уже во второй части? Это уже по-лучше?

Ward в сообщении #1035206 писал(а):

Хотя я сделал так: у меня получается: $\dfrac{1-2pn}{n^2}>3-p^2.$ Тогда $\dfrac{2pn-1}{n^2}<p^2-3$ при больших $n$ и конечно же если $p>0$ будет $2pn-1<3np$ и получается $3p/n<p^2-3$ и отсюда $n>\dfrac{3p}{p^2-3}$

-- 09.07.2015, 18:29 --

В случае $p<0$ тривиально ибо для любого $n$ будет $p-1/n<p<0$ и отсюда все вытекает

[ewert]

Ward в сообщении #1035206 писал(а):

будет $2pn-1<3np$

Тройка-то зачем?...

Возможно, это я Вас сбил с толку. При доказательстве этой части утверждения о неполноте бороться с квадратом эпсилона необходимости нет. С ним приходится бороться во второй половине д-ва -- что при $p^2<3$ это не есть верхняя граница.

[Ward]

ewert
Да можно написать $2pn-1<2pn$ но тогда же все будет в порядке. Вы согласны? Вроде получится $n>\dfrac{2p}{p^2-3}$

[ewert]

Ward в сообщении #1035277 писал(а):

Вроде получится $n>\dfrac{2p}{p^2-3}$

Вы немножко не в ту сторону думаете. Вас не должно интересовать, что конкретно получится. Должно интересовать лишь, получится ли нужное при хоть каком-то эн.

[Ward]

Но ведь получается ведь или все-таки не догоняю?

-- 09.07.2015, 22:13 --

при большом эн это обязательно случится.

-- 09.07.2015, 22:37 --

Уважаемый ewert
Я в ту сторону думаю. Я просто говорю что при больших эн а именно тех которые я указал будет то, что нам нужно.