Доказать сходимость реккурентности

[2old]

Найти $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$, если $a_1=1983$ и $a_{n+1}=\frac{2}{2^{a_n}}$

Если предел существует, то он равен $1$. Т.к. $a_n>0$ по определению, то сверху последовательность можно ограничить $2$. Нужно доказать сходимость, не получается доказать что она убывает.

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=2^{a_{n-1}-a_{n}}\Leftrightarrow a_{n+1}-a_n=a_n(2^{a_{n-1}-a_{n}}-1)$
Получается если в прошлую итерацию последовательность убывала, то в эту возрастает и наоборот. На этом я застрял. Нарисовал картинку, там так и происходит, но к $1$ за каждую итерацию близимся. Попробовал выписать что-нибудь полезное из $a_{n+1}-1=\frac{1-2^{a_n-1}}{2^{a_n-1}}$ -- выглядит интерсно, но как-то ничего не придумал :(

[iancaple]

Можно разность посмотреть $|a_{n+1}-a_n|\leq q|a_n-a_{n-1}|$ и доказать, что в области $a>\dfrac 12 $ можно взять $q<1$, получается сжимающее отображение.

[2old]

iancaple
Не очень понимаю, как это сделать. И почему такая область?

1. Пусть $f(x)=2^{1-x}$. Заметим, что если $x>1$, то $f(x)<1$ и наоборот.
2. Пусть $a_n<1$, тогда $a_{n+1}-a_{n}=f(a_n)-f(a_{n-1})=f'(c)(a_n-a_{n-1})$, где $c\in(a_n,a_{n-1})$.

$f'(x)=-\ln(2)\cdot 2^{1-x}$

А как получить тут сжимаемость? Ну точнее понятно, что при $x>\frac{1}{2}$ $|f'(x)|<1$. Но почему мы туда попадем вообще?

[iancaple]

2old в сообщении #1034832 писал(а):

$f'(x)=-\ln(2)\cdot 2^{1-x}$

А как получить тут сжимаемость?

Вы почти все уже сделали Так $|f'\left(\dfrac 12\right)|=0,9803..=q$
Попадет $a_4$, а из Ваших соображений, что колеблется около 1, следует, что и все дальнейшие

[2old]

iancaple
Согласен, спасибо. Правда без компьютера достаточно сложно это рассчитать. Хотелось бы все-таки найти "чистое" решение.

[ewert]

Там по графику спиралька получается. Поэтому доказывайте в первую очередь монотонности чётной и нечётной подпоследовательностей (противоположные монотонности, естественно).

[ex-math]

Если обозначить $b_n=1-a_n $, то $b_{n+1}=1-2^{b_n} $. Очевидно, последовательность $b_n $ знакочередующаяся. Если $b_1 <1$ (у нас это так), то $|b_n|$ монотонно убывает, что видно, если посмотреть на графики функций $|2^x-1|$ и $|x|$. Значит, $|b_n|$ имеет предел, который является решением уравнения $2^x-1=x $, т.е. равен нулю или единице. Но единица не подходит, так как уже $|b_2|$ меньше единицы.

[2old]

Разобрался, спасибо