2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать сходимость реккурентности
Сообщение08.07.2015, 21:16 


07/04/15
244
Найти $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$, если $a_1=1983$ и $a_{n+1}=\frac{2}{2^{a_n}}$

Если предел существует, то он равен $1$. Т.к. $a_n>0$ по определению, то сверху последовательность можно ограничить $2$. Нужно доказать сходимость, не получается доказать что она убывает.

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=2^{a_{n-1}-a_{n}}\Leftrightarrow a_{n+1}-a_n=a_n(2^{a_{n-1}-a_{n}}-1)$
Получается если в прошлую итерацию последовательность убывала, то в эту возрастает и наоборот. На этом я застрял. Нарисовал картинку, там так и происходит, но к $1$ за каждую итерацию близимся. Попробовал выписать что-нибудь полезное из $a_{n+1}-1=\frac{1-2^{a_n-1}}{2^{a_n-1}}$ -- выглядит интерсно, но как-то ничего не придумал :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость реккурентности
Сообщение08.07.2015, 21:52 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Можно разность посмотреть $|a_{n+1}-a_n|\leq q|a_n-a_{n-1}|$ и доказать, что в области $a>\dfrac 12 $ можно взять $q<1$, получается сжимающее отображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость реккурентности
Сообщение08.07.2015, 22:07 


07/04/15
244
iancaple
Не очень понимаю, как это сделать. И почему такая область?

1. Пусть $f(x)=2^{1-x}$. Заметим, что если $x>1$, то $f(x)<1$ и наоборот.
2. Пусть $a_n<1$, тогда $a_{n+1}-a_{n}=f(a_n)-f(a_{n-1})=f'(c)(a_n-a_{n-1})$, где $c\in(a_n,a_{n-1})$.

$f'(x)=-\ln(2)\cdot 2^{1-x}$

А как получить тут сжимаемость? Ну точнее понятно, что при $x>\frac{1}{2}$ $|f'(x)|<1$. Но почему мы туда попадем вообще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость реккурентности
Сообщение08.07.2015, 22:16 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
2old в сообщении #1034832 писал(а):

$f'(x)=-\ln(2)\cdot 2^{1-x}$

А как получить тут сжимаемость?
Вы почти все уже сделали Так $|f'\left(\dfrac 12\right)|=0,9803..=q$
Попадет $a_4$, а из Ваших соображений, что колеблется около 1, следует, что и все дальнейшие

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость реккурентности
Сообщение08.07.2015, 22:26 


07/04/15
244
iancaple
Согласен, спасибо. Правда без компьютера достаточно сложно это рассчитать. Хотелось бы все-таки найти "чистое" решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость реккурентности
Сообщение08.07.2015, 22:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Там по графику спиралька получается. Поэтому доказывайте в первую очередь монотонности чётной и нечётной подпоследовательностей (противоположные монотонности, естественно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость реккурентности
Сообщение08.07.2015, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Если обозначить $b_n=1-a_n $, то $b_{n+1}=1-2^{b_n} $. Очевидно, последовательность $b_n $ знакочередующаяся. Если $b_1 <1$ (у нас это так), то $|b_n|$ монотонно убывает, что видно, если посмотреть на графики функций $|2^x-1|$ и $|x|$. Значит, $|b_n|$ имеет предел, который является решением уравнения $2^x-1=x $, т.е. равен нулю или единице. Но единица не подходит, так как уже $|b_2|$ меньше единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сходимость реккурентности
Сообщение09.07.2015, 10:38 


07/04/15
244
Разобрался, спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group