Связность пространства C(X,Y)

[Mikhail_K]

Если $X$, $Y$ - топологические пространства, в частности, многообразия, то гомотопические классы отображений из $X$ в $Y$ есть компоненты линейной связности пространства $C(X,Y)$ непрерывных отображений из $X$ в $Y$.

Пусть $X=S^1$ - окружность, пространство $Y$ линейно связно.
Тогда множество гомотопических классов $\pi(S^1,Y)$ в точности совпадает с фундаментальной группой $\pi(Y)$.
Отсюда есть интересные следствия. Например, если $Y=\mathbb{T}^2$ - тор, то теперь мы можем кое-что сказать об устройстве пространства $C(S^1,\mathbb{T}^2)$. А именно то, что это пространство не является линейно связным, и его компоненты линейной связности - это в точности элементы фундаментальной группы тора $\pi(\mathbb{T}^2)=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$.
То же самое верно и в случае высших гомотопических групп, при $X=S^n$, $n>1$.

Но вот какой вопрос меня интересует! Про компоненты линейной связности всё понятно. Но можно ли что-нибудь сказать про обычную связность пространства $C(X,Y)$? Является ли оно несвязным (пространство может быть связным, но не линейно связным)? Совпадают ли при $X=S^n$ компоненты связности пространства $C(X,Y)$ с его компонентами линейной связности - элементами соответствующих гомотопических групп? Имеется ли какая-нибудь информация по этому поводу?

[Oleg Zubelevich]

а вот возьмем пространство $C(S^1,S^1)$. По-моему это пространство разбивается на открытые непересекающиеся подмножества, состоящие из отображений одной топологической степени

[Mikhail_K]

Ответ положительный.
Данный вопрос рассматривается у Куратовского, том 2, глава 7, $\S$54.
Там несколько теорем на эту тему.
В частности, есть такой результат.

Если $X$ - компактное метрическое пространство (в частности, подходят все сферы $S^n$), а $Y$ - сепарабельный абсолютный окрестностный ретракт (в частности, к ним относятся все полиэдры), то компоненты связности пространства $C(X,Y)$ (с компактно-открытой топологией) - это в точности классы гомотопных отображений.

Я счастлив, что нашёл эту теорему! Без неё теория гомотопий выглядит как-то не совсем полной.

----------

Отмечу, что в случае метрического $Y$ и компактного $X$ топология в $C(X,Y)$ (топология равномерной сходимости) задаётся при помощи метрики

$$ \rho_{C(X,Y)}(f_1,f_2)=\sup\limits_{x\in X}\rho(f_1(x),f_2(x)). $$

В случае же произвольных топологических $X$ и $Y$ рассматриваются всевозможные множества непрерывных отображений вида

$$ [K,U]=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\}, $$

где $K$ - компактное множество в $X$, а $U$ - открытое множество в $Y$. Теперь топология в $C(X,Y)$ (называемая компактно-открытой и совпадающая с топологией равномерной сходимости в первом случае) порождается такими множествами $[K,U]$ как предбазой. То есть открытыми множествами $C(X,Y)$ объявляются всевозможные объединения конечных пересечений множеств $[K,U]$.