Асимпт. плотность решений диофантовых уравнений

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1034212 писал(а):

vicvolf в сообщении #1034102 писал(а):

Утверждение
Уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-нечетном и $n>2$ в целых числах не имеет решений, не содержащих 0.

Доказательство

Предположим, что уравнение Ферма, в данном случае, имеет решение не в натуральных числах, не содержашее 0 Допустим, что $x_0,y_0,z_0$, где $x_0<0$.
Сделаем поворот на 180 градусов оси x:$x'=-x,y'=y,z'=z$. Тогда уравнение примет вид: ${(-x')}^n +{y'}^n-{(z')}^n=-{x'}^n+{y'}^n-{z'}^n=0$.
Полученное уравнение является уравнением Ферма: ${y'}^n={z'}^n+{x'}^n$, которое в данном случае имеет решение в области натуральных чисел: $x'=-x_0, y'=y_0,z'=z_0$, что противоречит истине и поэтому наше предположение не верно.

Опять ВРАНЬЕ! Поворот на 180 градусов не обязан переводить решения снова в решения.

Я писал выше в этом же сообщении, что при преобразованиях декартовых прямоугольных координат - параллельном переносе на целое значение по каждой координате и повороте на угол кратный 90 градусам, точка с целыми значениями координат переходит также в точку с целыми значениями координат. Естественно целые решения уравнения при таком повороте переходят в целые решения. По-моему это очевидно.
Прошу Вас вести себя на форуме корректно. Я могу ошибаться и буду благодарен за указание ошибок, но враньем не занимаюсь.

-- 08.07.2015, 12:18 --

Brukvalub в сообщении #1034212 писал(а):

vicvolf в сообщении #1034184 писал(а):

Так как $R_s(N), R^{+}_s(N)$ являются последовательностями, то для них существуют производящие функции соответственно:
$g(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(N) t^N}$, (7)
$gi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(N) t^N}$. (8)

Не доказано, что эти ряды сходятся хоть где-то, кроме своего центра.

vicvolf в сообщении #1034184 писал(а):

Обозначим аналитическое продолжение производящих функций (7), (8) на комплексную плоскость соответственно:
$g(z), g^{+}(z)$ (9).

Не доказано, что возможно корректное аналитическое продолжение рассматриваемых рядов.

В общем случае производящая функция не обязана быть аналитической, поэтому я и пишу. Если функции (9) являются аналитическими в области $|z|<R$, то ........

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1034615 писал(а):

Я писал выше в этом же сообщении, что при преобразованиях декартовых прямоугольных координат - параллельном переносе на целое значение по каждой координате и повороте на угол кратный 90 градусам, точка с целыми значениями координат переходит также в точку с целыми значениями координат. Естественно целые решения уравнения при таком повороте переходят в целые решения. По-моему это очевидно.

Это вранье! Например, уравнение $x^3+y^3-z^3=0$ имеет решение (1 ; 0 ; 1), но "поворот" этого решения на 180 градусов дает тройку (-1 ; 0 ; 1), которая решением уже не является.

vicvolf в сообщении #1034615 писал(а):

Прошу Вас вести себя на форуме корректно. Я могу ошибаться и буду благодарен за указание ошибок, но враньем не занимаюсь.

Прошу вас доказывать свои "очевидные" враные утверждения, а не заниматься размахиванием рук по типу "все очевидно и так". Также прошу вас не держать нас за дураков, выдавая за "дискуссионные темы" ту тривиальщину, которую вы переписываете сюда из учебников уже 9 стр.

-- Ср июл 08, 2015 12:38:08 --

vicvolf в сообщении #1034615 писал(а):

В общем случае производящая функция не обязана быть аналитической, поэтому я и пишу. Если функции (9) являются аналитическими в области $|z|<R$, то ........

Не нужно передергивать. До этого вы писали об аналитическом продолжении этих функций на всю комплексную плоскость без "если". Более того, пока не доказана возможность гарантированной сходимости рассматриваемых степенных рядов хоть в каком-то круге, все дальнейшие рассуждения становятся бессмысленными. Зачем городить бессмысленности?

[Toucan]

Brukvalub в сообщении #1033990 писал(а):

предыдущее изложение - тоже ВРАНЬЕ

Brukvalub в сообщении #1034627 писал(а):

Это вранье!

Brukvalub, предупреждение за некорректные формы обсуждения.

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1034627 писал(а):

уравнение $x^3+y^3-z^3=0$ имеет решение (1 ; 0 ; 1), но "поворот" этого решения на 180 градусов дает тройку (-1 ; 0 ; 1), которая решением уже не является.

При повороте осей на 180 градусов уравнение $x^3+y^3-z^3=0$ переходит в новых осях в уравнение $-x^3+y^3-z^3=0$, которое имеет решение (-1,0,1). В доказательстве я об этом и говорю -
"Предположим, что уравнение Ферма, в данном случае, имеет решение не в натуральных числах, не содержашее 0 Допустим, что $x_0,y_0,z_0$, где $x_0<0$.
Сделаем поворот на 180 градусов оси x:$x'=-x,y'=y,z'=z$. Тогда уравнение примет вид: ${(-x')}^n +{y'}^n-{(z')}^n=-{x'}^n+{y'}^n-{z'}^n=0$.
Полученное уравнение является уравнением Ферма: ${y'}^n={z'}^n+{x'}^n$, которое в данном случае имеет решение в области натуральных чисел: $x'=-x_0, y'=y_0,z'=z_0$, что противоречит истине и поэтому наше предположение не верно."

[Brukvalub]

...

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1034627 писал(а):

До этого вы писали об аналитическом продолжении этих функций на всю комплексную плоскость без "если"

Я писал-

vicvolf в сообщении #1034184 писал(а):

Если функции (9) являются аналитическими в области $|z|<R$, то их можно почленно дифференцировать в этой области нужное число раз и на основании теорем Коши и Тейлора (ТФКП) справедливы формулы:
$R_s(N)=Res[gi(z)/z^{N+1},0]=1/N!\lim_{z \to 0}g^{(N)}(z)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{g(z) dz/z^{N+1}$, (10)
$R_s^{+}(N)=Res[g^{+}(z)/z^{N+1},0]=1/N!\lim_{z \to 0}g^{+(N)}(0)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{gi^{+}(z) dz/z^{N+1}$. (11)

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1034184 писал(а):

Так как $R_s(N), R^{+}_s(N)$ являются последовательностями, то для них существуют производящие функции соответственно:
$g(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(N) t^N}$, (7)
$gi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(N) t^N}$. (8)

Обозначим аналитическое продолжение производящих функций (7), (8) на комплексную плоскость соответственно:
$g(z), g^{+}(z)$ (9).

Если функции (9) являются аналитическими в области $|z|<R$, то их можно почленно дифференцировать в этой области нужное число раз

До этого вы писали об аналитическом продолжении без "если".

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1034627 писал(а):

Более того, пока не доказана возможность гарантированной сходимости рассматриваемых степенных рядов хоть в каком-то круге, все дальнейшие рассуждения становятся бессмысленными. Зачем городить бессмысленности?

Я буду доказывать сходимость рядов в каждом конкретном случае.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #885679 писал(а):

При рассмотрении количества решений диофантового уравнения $F(x_1,...x_k)=0$ необходимо учесть область определения функции $F(x_1,...x_k)$.
С учетом области определения указанной функции количество возможных решений уравнения в области натуральных чисел $A^k$, где $A=1,2,...N$, может уменьшиться.

В качестве примера приведем диофантово уравнение, соответствующее эллиптической функции:
$(x_2-1)^2=x_1^3-2x_1^2$.
Область определения данной функции находится из решения неравенства: $x_1^3-2x_1^2=x_1^2(x_1-2) \geq 0$.
В области натуральных чисел данное неравенство имеет решение $x_1 \geq 2$, поэтому решение уравнения: $x_1=0, x_2=1$ не входит в область $A^2$.

Поясните, в чем состоит новизна или "дискуссионность" этого поста? Сначала делается тривиальное заявление из учебника школьной алгебры за 8-й класс, что при решении уравнений нужно учитывать ОДЗ, затем заявление иллюстрируется упражнением из учебника 5-го класса: "доказать, что пара чисел $x_1=0, x_2=1$ не является решением уравнения $(x_2-1)^2=x_1^3-2x_1^2$.
Для кого ведется этот блог, для учеников средней школы?

[vicvolf]

В школах не рассматриваются диофантовы уравнения. Тем более не исследуется количество их решений.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1034901 писал(а):

В школах не рассматриваются диофантовы уравнения. Тем более не исследуется количество их решений.

1. Поясните, каким образом в обсуждаемом вашем сообщении использована целочисленность решений? Что изменится, если требование целочисленности отбросить?
2. Каким образом вы убедились, что в школах не обсуждаются диофантовы уравнения? Вот я долгое время вел в школе кружок, на котором обсуждал диофантовы уравнения, более того, вот эта, вот эта, вот эта, вот эта, вот эта, и еще сотни полторы ссылок по запросам доказывают ложность вашего ни на чем не основанного тезиса "В школах не рассматриваются диофантовы уравнения. Тем более не исследуется количество их решений.".

[vicvolf]

Я имею в виду обязательную школьную программу. Уезжаю на два дня, поэтому не смогу отвечать на вопросы.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1035071 писал(а):

Я имею в виду обязательную школьную программу. Уезжаю на два дня, поэтому не смогу отвечать на вопросы.

Повторю свой вопрос:
Поясните, каким образом в обсуждаемом вашем сообщении использована целочисленность решений? Что изменится, если требование целочисленности отбросить?

[vicvolf]

Одной из целей данной темы было дать верхнюю оценку количества целочисленных и натуральных решений различных диофантовых уравнений. Этим сообщением я хотел сказать, что верхняя оценка количества решений диофантовых уравнений не вырастет, если данное уравнение в качестве области определения содержит не все целые числа. Поэтому с этих позиций можно не рассматривать этот большой класс диофантовых уравнений. Естественно, с позиции верхней оценки количества решений, это справедливо не только для диофантовых уравнений, но я таковые в данной теме не рассматриваю.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1034184 писал(а):

Теперь поговорим о получении производящих функций (2), (3):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}$,
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}$.

Рассмотрим количество натуральных решений уравнения:
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_sx_s=n$, (12)
где все $a_i$- нутуральные числа и $n\geq\sum_{i=1}^{s}{a_i}$.
Известно, что данное уравнение имеет натуральные решения, если $n$ кратно наибольшему делителю $a_i$. В остальных случаях $R_s^{+}(n)=0$.

Получим производящую функцию количества натуральных решений уравнения (12):
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}=(\sum_{x_1=1}^{\infty}{t^{a_1x_1}})...(\sum_{x_s=1}^{\infty}{t^{a_sx_s}})$. (13)
Так как все ряды в (13) сходятся при $|t|<1$, то получим:
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}=t^{a_1}...t^{a_s}/(1-t^{a_1})..(1-t^{a_s})$. (14)
Аналогично (14) получим производящую функцию количества неотрицательных решений уравнения (12):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}=(\sum_{x_1=0}^{\infty}{t^{a_1x_1}})...(\sum_{x_s=0}^{\infty}{t^{a_sx_s}})$. (15)
Так как все ряды в (15) сходятся при $|t|<1$, то получим:
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}=1/(1-t^{a_1})...(1-t^{a_s})$. (16)

В частном случае на основании (14), (16) получим производящие функции количества решений для уравнения:
$x_1+x_2+...+x_s=n$, (17)
где $n\geq s$.
Производящая функция количества натуральных решений уравнения (17) на основании (14):
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}=t/(1-t)...t/(1-t)}=t^s/(1-t)^s$. (18)
Аналогично (18) производящая функция количество неотрицательных решений уравнения (17) на основании (16):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}=1/(1-t)...1/(1-t)}=1/(1-t)^s$. (19)