2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальное уравнение
Сообщение07.07.2015, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Имеется такое ДУ:

$$ \dfrac{dv}{dt} = f(x). $$

Кроме того, известно, что $x = x(t)$. Один из путей решения уравнения заключался в том, чтобы перевести $v(t)$ в $u(x(t))$ таким образом:

$$ v(t) = u(x(t)), \quad \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{du}{dx} \dfrac{dx}{dt} = u'(x) v(t) = u'(x) u(x). $$

После этого уравнение преобразуется к виду

$$ u \dfrac{du}{dx} = f(x). $$

Только решение этого уравнения для $f(x) = \operatorname{const}$ не имеет никакого физического смысла. А должно.

У меня такое подозрение, что вышеуказанное преобразование в принципе некорректно. Но почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение07.07.2015, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
StaticZero в сообщении #1034481 писал(а):
Только решение этого уравнения для $f(x) = \operatorname{const}$ не имеет никакого физического смысла.
А какое там решение-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение07.07.2015, 23:45 


29/09/06
4552
После сложнейших преобразований у меня решилось как $v(t)=\int f(x(t))\,dt +C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение07.07.2015, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Алексей К. в сообщении #1034498 писал(а):
После сложнейших преобразований у меня решилось как $v(t)=\int f(x(t))\,dt +C$.


$x(t)$ неизвестна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение07.07.2015, 23:58 


29/09/06
4552
Буду гуглить "уравнения с неизвестной левой частью и неизвестной правой". Может, чего-нть нагуглю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение08.07.2015, 00:03 


10/02/11
6786
очевидно имелось в виду уравнение $\ddot x=f(x)$, которое банально интегрируется

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение08.07.2015, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Someone в сообщении #1034496 писал(а):
А какое там решение-то?


Вот предложу такой вариант, когда грузик соскальзывает без трения по наклонной плоскости с углом 45˜ градусов. Ось икс направлена горизонтально в сторону соскальзывания. $f(x)$ у нас равна $\dfrac{g}{2}$. Попытаемся найти $u(x)$. Имеем

$$ u \dfrac{du}{dx} = \dfrac{g}{2}. $$

Решение уравнения, видимо, $u^2 = gx$. Положим константу равной нулю (в нуле начинается движение). С другой стороны, скорость грузика равна по закону сохранения $u^2 = 2gx$.

-- 08.07.2015, 01:08 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1034505 писал(а):
очевидно имелось в виду уравнение $\ddot x=f(x)$, которое банально интегрируется


В данном случае да. Но необходимо свести к функции $v(x)$. Если в этой теме противоречие не разрешится, тогда я кину задачу целиком в раздел "Физика", а ссылку брошу сюда.

-- 08.07.2015, 01:11 --

Алексей К. в сообщении #1034503 писал(а):
неизвестной правой


Вид $f(x)$ известен. Не известно $x(t)$. Поэтому и интересует то, как можно обойтись только скоростью и иксом без времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение08.07.2015, 00:14 


29/09/06
4552
StaticZero в сообщении #1034509 писал(а):
$f(x)$ у нас равна $\dfrac{g}{\sqrt{2}}$
Это бессмысленная фраза. Если Вы решили изложить задачу в терминах плоскостей-трений-градусов, то следует писать что-то вроде "трение $f(x)$", "ускорение $f(x)$", "температура $f(x)$", итп., а не просто $f(x)=\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение08.07.2015, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
$f(x)$ — ускорение, которое зависит от $x$.

-- 08.07.2015, 01:43 --

Вообще, пожалуй, отправлюсь подумать ещё. Путаться начинаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение08.07.2015, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Всё, вопрос решён. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group