Дифференциальное уравнение

[StaticZero]

Имеется такое ДУ:

$$ \dfrac{dv}{dt} = f(x). $$

Кроме того, известно, что $x = x(t)$. Один из путей решения уравнения заключался в том, чтобы перевести $v(t)$ в $u(x(t))$ таким образом:

$$ v(t) = u(x(t)), \quad \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{du}{dx} \dfrac{dx}{dt} = u'(x) v(t) = u'(x) u(x). $$

После этого уравнение преобразуется к виду

$$ u \dfrac{du}{dx} = f(x). $$

Только решение этого уравнения для $f(x) = \operatorname{const}$ не имеет никакого физического смысла. А должно.

У меня такое подозрение, что вышеуказанное преобразование в принципе некорректно. Но почему?

[Someone]

StaticZero в сообщении #1034481 писал(а):

Только решение этого уравнения для $f(x) = \operatorname{const}$ не имеет никакого физического смысла.

А какое там решение-то?

[Алексей К.]

После сложнейших преобразований у меня решилось как $v(t)=\int f(x(t))\,dt +C$.

[StaticZero]

Алексей К. в сообщении #1034498 писал(а):

После сложнейших преобразований у меня решилось как $v(t)=\int f(x(t))\,dt +C$.

$x(t)$ неизвестна.

[Алексей К.]

Буду гуглить "уравнения с неизвестной левой частью и неизвестной правой". Может, чего-нть нагуглю...

[Oleg Zubelevich]

очевидно имелось в виду уравнение $\ddot x=f(x)$, которое банально интегрируется

[StaticZero]

Someone в сообщении #1034496 писал(а):

А какое там решение-то?

Вот предложу такой вариант, когда грузик соскальзывает без трения по наклонной плоскости с углом 45˜ градусов. Ось икс направлена горизонтально в сторону соскальзывания. $f(x)$ у нас равна $\dfrac{g}{2}$. Попытаемся найти $u(x)$. Имеем

$$ u \dfrac{du}{dx} = \dfrac{g}{2}. $$

Решение уравнения, видимо, $u^2 = gx$. Положим константу равной нулю (в нуле начинается движение). С другой стороны, скорость грузика равна по закону сохранения $u^2 = 2gx$.

-- 08.07.2015, 01:08 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1034505 писал(а):

очевидно имелось в виду уравнение $\ddot x=f(x)$, которое банально интегрируется

В данном случае да. Но необходимо свести к функции $v(x)$. Если в этой теме противоречие не разрешится, тогда я кину задачу целиком в раздел "Физика", а ссылку брошу сюда.

-- 08.07.2015, 01:11 --

Алексей К. в сообщении #1034503 писал(а):

неизвестной правой

Вид $f(x)$ известен. Не известно $x(t)$. Поэтому и интересует то, как можно обойтись только скоростью и иксом без времени.

[Алексей К.]

StaticZero в сообщении #1034509 писал(а):

$f(x)$ у нас равна $\dfrac{g}{\sqrt{2}}$

Это бессмысленная фраза. Если Вы решили изложить задачу в терминах плоскостей-трений-градусов, то следует писать что-то вроде "трение $f(x)$", "ускорение $f(x)$", "температура $f(x)$", итп., а не просто $f(x)=\ldots$

[StaticZero]

$f(x)$ — ускорение, которое зависит от $x$.

-- 08.07.2015, 01:43 --

Вообще, пожалуй, отправлюсь подумать ещё. Путаться начинаю.

[StaticZero]

Всё, вопрос решён. Спасибо.