Аналитическое выражение для суммы ряда

[secam]

Помогите найти аналитическое выражение для суммы ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}}{n!}$
Значение суммы ряда лежит в интервале $(e, 2e)$:

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots<\frac{\sqrt{0+1}}{0!}+\frac{\sqrt{1+1}}{1!}+\frac{\sqrt{2+1}}{2!}+\frac{\sqrt{3+1}}{3!}+\ldots <\frac{0+1}{0!}+\frac{1+1}{1!}+\frac{2+1}{2!}+\frac{3+1}{3!}+\ldots=$$

$$=\left(\frac{0}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{2}{2!}+\frac{3}{3!}+\ldots\right)+\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots\right)=$$

$$=\left(0+1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots\right)+\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots\right)=2e$$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Не разбивайте формулы на составляющие, каждая формула должна содержать ровно два знака доллара - один в начале, другой в конце.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Анализ-I»
Возвращено

[mihailm]

А как связано аналитическое выражение и то что это лежит между?

[ИСН]

Anyway, у таких штук его обычно не бывает.

[sergei1961]

Найти явное выражение через интеграл можно, непонятно зачем только оно. Для этого нужно взять из Прудников, Брычков, Маричев, Интегралы и ряды, т.1., с. 561, ф.10, умножить обе части на x, взять производную, затем положить $x=1$. Удачи!

[secam]

Спасибо за формулу

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!\sqrt{k+1}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{x}\exp(xe^{-t^2}-t^2)dt$$

Почему Wolfram Mathematica и Mathcad дают различные значения для суммы и для интеграла?
При $x=1$

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!\sqrt{k+1}}=2.10176$$

$$\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{1}\exp(e^{-t^2}-t^2)dt=1.90773$$

Подскажите пожалуйста, где можно почитать про вывод подобных формул?

[ewert]

secam в сообщении #1036194 писал(а):

Спасибо за формулу

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!\sqrt{k+1}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{x}\exp(xe^{-t^2}-t^2)dt$$

Формула замечательна прежде всего тем, что вычислить интеграл с любой требуемой точностью гораздо труднее, чем ряд. Но трудности -- закаляют!

[Hasek]

secam в сообщении #1036194 писал(а):

Почему Wolfram Mathematica и Mathcad дают различные значения для суммы и для интеграла?

Очевидно потому что они пользуются разными методами для численного подсчета ряда и интеграла.