Символ Кронекера 4-го ранга

[fronnya]

Нужно вычислить вот это

$$\delta_{mn}^{rs} a^{mn}$$

Дельта -это символ Кронекера, который определяется так: 1, если перестановки $r,s$ и $m,n$ одинаковые, -1, если эти перестановки противоположные, 0, если один индекс сверху не равен ни одному индексу снизу (например $\delta^{13}_{12}$) или если два индекса сверху или снизу совпадают.
Я не знаю, как здесь поступить, если в лоб, то получается:

$$\delta^{rs}_{12}a^{12}+\delta^{rs}_{23}a^{23}+\delta^{rs}_{31}a^{31}+\delta^{rs}_{13}a^{13}+\delta^{rs}_{21}a^{21}+\delta^{rs}_{32}a^{32}=\delta^{rs}_{12}a^{12}+\delta^{rs}_{23}a^{23}+\delta^{rs}_{31}a^{31}-\delta^{rs}_{31}a^{13}-\delta^{rs}_{12}a^{21}-\delta^{rs}_{23}a^{32}$$

Выходит что-то похожее на $a^{rs}-a^{sr}$, но я не знаю, как это можно строго показать.

[Red_Herring]

А можете записать этот $\delta^{rs}_{mn}$ через обычный $\delta^j_k$?

[Утундрий]

Перестановки бывают чётные и нечётные. Что ещё за "одинаковые" и "противоположные"?

[mihailm]

это не те перестановки, явно имеется в виду просто пара символов с порядком

[ewert]

fronnya в сообщении #1033891 писал(а):

Выходит что-то похожее на $a^{rs}-a^{sr}$, но я не знаю, как это можно строго показать.

Но ведь $rs$ может принимать и всего-то 6 значений. Почему бы их тупо не перебрать?

Хотя разумнее, конечно, с самого начала заметить, что для каждого $rs$ в исходной сумме присутствуют либо лишь два ненулевых слагаемых (ш понятно, какие), либо ни одного.

-- Вс июл 05, 2015 21:49:18 --

Утундрий в сообщении #1033909 писал(а):

Перестановки бывают чётные и нечётные. Что ещё за "одинаковые" и "противоположные"?

Это одно и то же.

mihailm в сообщении #1033911 писал(а):

это не те перестановки, явно имеется в виду просто пара символов с порядком

Это именно те перестановки, только не перестановки как таковые, а перестановки наборов различных индексов. Ну и что, что в наборах лишь по два элемента.

[kw_artem]

fronnya, да, равенство верное ($a^{rs}-a^{sr}$). Ваша дельта -- это один из обобщенных символов Кронекера. Наш определяется как:

$$\delta_{mn}^{rs}=\varepsilon_{mnk}\varepsilon^{rsk}.$$

Сможете воспользоваться этим равенством, чтобы строго вывести ответ?

[Red_Herring]

Все таки проще всего: $\delta^{rs}_{mn}=\delta^r_m\delta^s_n-\delta^r_n\delta^s_m$

[Утундрий]

А, так это ж те самые тождества из ЛЛ2. Я не узнал их в гриме.

[kw_artem]

(Оффтоп)

Red_Herring, не хотелось сразу ответ выдавать

[ewert]

kw_artem в сообщении #1033938 писал(а):

это один из обобщенных символов Кронекера. Наш определяется как:

$$\delta_{mn}^{rs}=\varepsilon_{mnk}\varepsilon^{rsk}.$$

Вообще-то определять символ Кронекера через символ Леви-Чевиты, который, в сущности, есть не более чем частный случай символов Кронекера -- это некоторое издевательство.

-- Пн июл 06, 2015 00:02:42 --

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1033939 писал(а):

Все таки проще всего: $\delta^{rs}_{mn}=\delta^r_m\delta^s_n-\delta^r_n\delta^s_m$

Всё-таки проще всего увидеть ответ сразу. А это хоть и полезно, но для каких-нибудь других целей, а тут (если заранее неизвестно) всё-таки требует некоторого задумывания.

[fronnya]

kw_artem в сообщении #1033938 писал(а):

fronnya, да, равенство верное ($a^{rs}-a^{sr}$). Ваша дельта -- это один из обобщенных символов Кронекера. Наш определяется как:

$$\delta_{mn}^{rs}=\varepsilon_{mnk}\varepsilon^{rsk}.$$

Сможете воспользоваться этим равенством, чтобы строго вывести ответ?

Ой.. Как же я мог забыть, что $\varepsilon_{mnk}\varepsilon^{rsk}=\delta^s_n\delta^r_m-\delta^s_m\delta^r_n$
И Red_Herring это написал, я тут же вспомнил формулу, тогда все элементарно доказывается, спасибо.

[kw_artem]

ewert в сообщении #1033961 писал(а):

Вообще-то определять символ Кронекера через символ Леви-Чевиты, который, в сущности, есть не более чем частный случай символов Кронекера -- это некоторое издевательство.

Может быть для символа Кронекера это и издевательство, но для запоминания определения как раз удобно. (особенно, если символов много)

[ewert]

kw_artem в сообщении #1033964 писал(а):

но для запоминания определения как раз удобно:

Так определение-то символа Кронекера совсем не такое. Определение -- оно должно быть идейным; а это просто некоторое трюкачество (притом заранее не совсем ясное зачем).

[fronnya]

ewert в сообщении #1033968 писал(а):

Определение -- оно должно быть идейным; а это просто некоторое трюкачество (притом заранее не совсем ясное зачем).

а как бы вы решили эту задачу?

[ewert]

fronnya в сообщении #1033963 писал(а):

я тут же вспомнил формулу, тогда все элементарно доказывается,

А без формул -- что, не очевидно?...

Вы ведь с самого начала сформулировали (пусть и невнятно) именно определение символа Кронекера. От именно определения бы и отталкивались.

-- Пн июл 06, 2015 00:24:17 --

fronnya в сообщении #1033969 писал(а):

а как бы вы решили эту задачу?

ewert в сообщении #1033917 писал(а):

с самого начала заметить, что для каждого $rs$ в исходной сумме присутствуют либо лишь два ненулевых слагаемых (и понятно, какие), либо ни одного.

Для каждого $rs$ -- какими могут быть $nm$, чтобы $\delta^{rs}_{nm}$ было ненулевым?...