2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 19:58 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Нужно вычислить вот это $$\delta_{mn}^{rs} a^{mn}$$
Дельта -это символ Кронекера, который определяется так: 1, если перестановки $r,s$ и $m,n$ одинаковые, -1, если эти перестановки противоположные, 0, если один индекс сверху не равен ни одному индексу снизу (например $\delta^{13}_{12}$) или если два индекса сверху или снизу совпадают.
Я не знаю, как здесь поступить, если в лоб, то получается:
$$\delta^{rs}_{12}a^{12}+\delta^{rs}_{23}a^{23}+\delta^{rs}_{31}a^{31}+\delta^{rs}_{13}a^{13}+\delta^{rs}_{21}a^{21}+\delta^{rs}_{32}a^{32}=\delta^{rs}_{12}a^{12}+\delta^{rs}_{23}a^{23}+\delta^{rs}_{31}a^{31}-\delta^{rs}_{31}a^{13}-\delta^{rs}_{12}a^{21}-\delta^{rs}_{23}a^{32}$$
Выходит что-то похожее на $a^{rs}-a^{sr}$, но я не знаю, как это можно строго показать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10430
Hogtown
А можете записать этот $\delta^{rs}_{mn}$ через обычный $\delta^j_k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Перестановки бывают чётные и нечётные. Что ещё за "одинаковые" и "противоположные"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 20:36 


19/05/10

3940
Россия
это не те перестановки, явно имеется в виду просто пара символов с порядком

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 20:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
fronnya в сообщении #1033891 писал(а):
Выходит что-то похожее на $a^{rs}-a^{sr}$, но я не знаю, как это можно строго показать.

Но ведь $rs$ может принимать и всего-то 6 значений. Почему бы их тупо не перебрать?

Хотя разумнее, конечно, с самого начала заметить, что для каждого $rs$ в исходной сумме присутствуют либо лишь два ненулевых слагаемых (ш понятно, какие), либо ни одного.

-- Вс июл 05, 2015 21:49:18 --

Утундрий в сообщении #1033909 писал(а):
Перестановки бывают чётные и нечётные. Что ещё за "одинаковые" и "противоположные"?

Это одно и то же.

mihailm в сообщении #1033911 писал(а):
это не те перестановки, явно имеется в виду просто пара символов с порядком

Это именно те перестановки, только не перестановки как таковые, а перестановки наборов различных индексов. Ну и что, что в наборах лишь по два элемента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 21:53 


17/01/12
445
fronnya, да, равенство верное ($a^{rs}-a^{sr}$). Ваша дельта -- это один из обобщенных символов Кронекера. Наш определяется как:
$$\delta_{mn}^{rs}=\varepsilon_{mnk}\varepsilon^{rsk}.$$
Сможете воспользоваться этим равенством, чтобы строго вывести ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10430
Hogtown
Все таки проще всего: $\delta^{rs}_{mn}=\delta^r_m\delta^s_n-\delta^r_n\delta^s_m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
А, так это ж те самые тождества из ЛЛ2. Я не узнал их в гриме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 22:02 


17/01/12
445

(Оффтоп)

Red_Herring, не хотелось сразу ответ выдавать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 22:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
kw_artem в сообщении #1033938 писал(а):
это один из обобщенных символов Кронекера. Наш определяется как:
$$\delta_{mn}^{rs}=\varepsilon_{mnk}\varepsilon^{rsk}.$$

Вообще-то определять символ Кронекера через символ Леви-Чевиты, который, в сущности, есть не более чем частный случай символов Кронекера -- это некоторое издевательство.

-- Пн июл 06, 2015 00:02:42 --

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1033939 писал(а):
Все таки проще всего: $\delta^{rs}_{mn}=\delta^r_m\delta^s_n-\delta^r_n\delta^s_m$

Всё-таки проще всего увидеть ответ сразу. А это хоть и полезно, но для каких-нибудь других целей, а тут (если заранее неизвестно) всё-таки требует некоторого задумывания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 23:06 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
kw_artem в сообщении #1033938 писал(а):
fronnya, да, равенство верное ($a^{rs}-a^{sr}$). Ваша дельта -- это один из обобщенных символов Кронекера. Наш определяется как:
$$\delta_{mn}^{rs}=\varepsilon_{mnk}\varepsilon^{rsk}.$$
Сможете воспользоваться этим равенством, чтобы строго вывести ответ?

Ой.. Как же я мог забыть, что $\varepsilon_{mnk}\varepsilon^{rsk}=\delta^s_n\delta^r_m-\delta^s_m\delta^r_n$
И Red_Herring это написал, я тут же вспомнил формулу, тогда все элементарно доказывается, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 23:07 


17/01/12
445
ewert в сообщении #1033961 писал(а):
Вообще-то определять символ Кронекера через символ Леви-Чевиты, который, в сущности, есть не более чем частный случай символов Кронекера -- это некоторое издевательство.

Может быть для символа Кронекера это и издевательство, но для запоминания определения как раз удобно. (особенно, если символов много)

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 23:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
kw_artem в сообщении #1033964 писал(а):
но для запоминания определения как раз удобно:

Так определение-то символа Кронекера совсем не такое. Определение -- оно должно быть идейным; а это просто некоторое трюкачество (притом заранее не совсем ясное зачем).

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 23:18 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
ewert в сообщении #1033968 писал(а):
Определение -- оно должно быть идейным; а это просто некоторое трюкачество (притом заранее не совсем ясное зачем).

а как бы вы решили эту задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Символ Кронекера 4-го ранга
Сообщение05.07.2015, 23:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
fronnya в сообщении #1033963 писал(а):
я тут же вспомнил формулу, тогда все элементарно доказывается,

А без формул -- что, не очевидно?...

Вы ведь с самого начала сформулировали (пусть и невнятно) именно определение символа Кронекера. От именно определения бы и отталкивались.

-- Пн июл 06, 2015 00:24:17 --

fronnya в сообщении #1033969 писал(а):
а как бы вы решили эту задачу?

ewert в сообщении #1033917 писал(а):
с самого начала заметить, что для каждого $rs$ в исходной сумме присутствуют либо лишь два ненулевых слагаемых (и понятно, какие), либо ни одного.

Для каждого $rs$ -- какими могут быть $nm$, чтобы $\delta^{rs}_{nm}$ было ненулевым?...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group