Несколько вопросов по ЛЛ-2

[tech]

Здравствуйте.
Накопился список вопросов по ЛЛ-2.
1. Параграф 29. Последние абзацы.
"... о тесной связи между калибровочной инвариантностью уравнений электродинамики и законом сохранения заряда".
У нас было действие (точнее, его часть):

$$-\frac{1}{c^2}\int A_i j^i d\Omega$$

В результате замены $A_i \to A_i-\partial_i f$ получаем:

$$-\frac{1}{c^2}\int A_i j^i d\Omega+\frac{1}{c^2}\int j^i \frac{\partial f}{\partial x^i}d\Omega$$

Я понимаю, что если $\partial_i x^i=0$, то подынтегральное выражение во втором интеграле можно будет записать в виде 4-дивергенции и преобразовать по теореме Гаусса.

Но вот что я не понимаю. А если мы в таком виде (как выше) и оставим этот интеграл? Варьировать мы будем по полю $A^i$, а в этом интеграле от $A^i$ ничего не зависит (токи считаются заданными, а $f$ - функция координат и времени), и вариация этого интеграла есть $0$ и без преобразований, и без ЗСЗ.

2. Параграф 37.
В параграфе выводится, что энергия поля равна

$$U=\frac{1}{2}\sum e_a \varphi_a$$

Суммирование ведется по всем зарядам.

Пусть у нас есть один заряд во внешнем поле. Выходит, что его энергия такова (если откинуть бесконечную собственную энергию):

$$U=\frac{1}{2}e\varphi$$

Что это за $\frac{1}{2}$ такая вылезла? Вроде всегда энергия была просто $e\varphi$.

3. Параграф 45. Ларморова прецессия.

Допустим, у нас есть частица $1$, обладающая собственным магнитным моментом, и она движется в кулоновском поле другой, покоящейся частицы $2$. Если мы перейдем в систему отсчета (мгновенно-сопутствующую) частицы $1$, то магнитное поле в ней может оказаться ненулевым, и тогда будет происходить прецессия спина.
Выходит, что в с.о. частицы $2$ мы будем наблюдать прецессию спина частицы $1$, несмотря на то, что в этой с.о. нет магнитного поля?

Пожалуй, пока всё. Заранее спасибо.

[Alex-Yu]

tech в сообщении #1033527 писал(а):

У нас было действие (точнее, его часть):

$$-\frac{1}{c^2}\int A_i j^i d\Omega$$

В результате замены $A_i \to A_i-\partial_i f$ получаем:

$$-\frac{1}{c^2}\int A_i j^i d\Omega+\frac{1}{c^2}\int j^i \frac{\partial f}{\partial x^i}d\Omega$$

Я понимаю, что если $\partial_i x^i=0$, то подынтегральное выражение во втором интеграле можно будет записать в виде 4-дивергенции и преобразовать по теореме Гаусса.

Но вот что я не понимаю. А если мы в таком виде (как выше) и оставим этот интеграл? Варьировать мы будем по полю $A^i$, а в этом интеграле от $A^i$ ничего не зависит (токи считаются заданными, а $f$ - функция координат и времени), и вариация этого интеграла есть $0$ и без преобразований, и без ЗСЗ.

Действие должно быть инвариантно относительно $A_i \to A_i-\partial_i f$. А это только если $\partial_i j^i=0$. Варьирование тут просто ни при чем.

Впрочем, можно и поварьировать Возмите специальный (!!!) случай вариации $A_i \to A_i-\partial_i f$, вся вариация в $f$. Стационарность действия должна же быть при ЛЮБЫХ вариациях, в т.ч. и при такой. Тогда сразу получите то, что нужно.

-- Вс июл 05, 2015 10:19:46 --

tech в сообщении #1033527 писал(а):

Что это за $\frac{1}{2}$ такая вылезла? Вроде всегда энергия была просто $e\varphi$.

Энергия во внешнем поле и энергия системы зарядов --- разные вещи. Впрочем, тут даже можно сообразить что за 1/2. Внешнее поле создается какими-то зарядами. Так нужно просуммировать и по этим зарядам тоже! Вот там будет еще столько же. 1/2+1/2=1

-- Вс июл 05, 2015 10:23:23 --

tech в сообщении #1033527 писал(а):

Допустим, у нас есть частица $1$, обладающая собственным магнитным моментом, и она движется в кулоновском поле другой, покоящейся частицы $2$. Если мы перейдем в систему отсчета (мгновенно-сопутствующую) частицы $1$, то магнитное поле в ней может оказаться ненулевым, и тогда будет происходить прецессия спина.
Выходит, что в с.о. частицы $2$ мы будем наблюдать прецессию спина частицы $1$, несмотря на то, что в этой с.о. нет магнитного поля?

Спин --- это уже квантовая физика, лл2 тут ни при чем. Впрочем, Вы здесь "открыли" спин-орбитальное взаимодействие. Правда, на самом деле его открыли намного раньше Вас.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1033556 писал(а):

Спин --- это уже квантовая физика, лл2 тут ни при чем.

Спин есть и в классической физике (угловой момент точечной частицы). ЛЛ-2 тут ни при чём просто потому, что поленились описать этот случай. Например, в Вайнберге Гравитация и космология он описан.

[Cos(x-pi/2)]

В ЛЛ-4 есть § 41 "Движение спина во внешнем поле"; уравнение (41.9)

tech в сообщении #1033527 писал(а):

Выходит, что в с.о. частицы $2$ мы будем наблюдать прецессию спина частицы $1$, несмотря на то, что в этой с.о. нет магнитного поля?

Да, смотрите задачу 3 в § 41 ЛЛ-4.

Имхо, можно и по-простому (из одних только преобразований Лоренца) придти к выводу, что при движении рамки с заданным током (пусть она играет роль тела с магнитным моментом) во внешнем электрическом поле на неё должен действовать момент сил. Конечно, саму прецессию так запросто не вывести, ибо это была бы уже задача механики о движении тела с неким тензором инерции, но на качественном уровне "спин-орбитальное взаимодействие" тут обнаруживается. Ведь можно для простоты считать, что мы рукой держим квадратную рамку с током и ведём её в однородном эл. поле $\mathbf{E}$ с постоянной скоростью $\mathbf{v}$, не давая ей "прецессировать"; тогда, задавшись самой простой картинкой, несложно вычислить обусловленный полем $\mathbf{E}$ постоянный момент сил. Его ненулевая величина и указывает нам на возможность некоей прецессии рамки при "свободном" движении, когда будет действовать только $\mathbf{E}.$ А расчёт в системе покоя рамки (для простоты - в линейном приближении по $v/c$) показывает, что тот же момент сил создаётся магнитным полем, появившимся в новой с.о. при преобразованиях Лоренца.

[tech]

Alex-Yu в сообщении #1033556 писал(а):

Впрочем, тут даже можно сообразить что за 1/2. Внешнее поле создается какими-то зарядами. Так нужно просуммировать и по этим зарядам тоже! Вот там будет еще столько же. 1/2+1/2=1

Я тоже поначалу так подумал. Но тогда почему до этого гамильтониан частицы в заданном внешнем поле выглядел вот так:

$$H=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+e\varphi$$

?

[Alex-Yu]

tech в сообщении #1034085 писал(а):

Я тоже поначалу так подумал. Но тогда почему до этого гамильтониан частицы в заданном внешнем поле выглядел вот так:

$$H=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+e\varphi$$

Ну уж одно из двух: или энергия системы зарядов, или заряды во внешнем поле (создаваемом какими-то зарядами, исключенными из рассмотрения, их энергия выкинута, потому фактор 2). Но не то и другое одновременно!