Парадокс Ахиллеса и черепахи без физики

[AD]

То есть в парадоксе такая фишка: время, которое измеряется часами, подменяется "дискретным" временем, измеряемым сближением Ахиллеса и черепахи на некоторые расстояния. Из того, что натикало бесконечно много этих "дискретных" "секунд", не следует, что прошло бесконечно много времени по "реальным" часам.

enko писал(а):

Я читал по виду серьезные статьи где из этого парадокса делается вывод о том что есть предел деления времени.

Вот-вот. По виду. В "дискуссионных разделах" нашего форума все темы - очень серьёзные по виду, но по большей части происходят от полного незнания автором предмета.

[luitzen]

Не знаю, не знаю… Какой-то неприятный осадок от этой зеноновской апории все-таки остается.

Кажется, в ней говорится о том, что физическое движение не может быть помыслено некоторым определенным способом. Участники дискуссии желали показать, что некоторым другим способом оно вполне может быть помыслено. Но можно сформулировать эту апорию таким образом, что навык суммировать б/у геометрическую прогрессию читателю вряд ли поможет.

Кэрролл писал(а):

ЧТО ЧЕРЕПАХА СКАЗАЛА АХИЛЛУ

— Итак, наше состязание окончено? — спросила Черепаха. — Вам все-таки удалось преодолеть всю дистанцию, хотя она и состояла из бесконечной последовательности отрезков, и достичь финиша? А ведь, по правде говоря, я думала, будто какой-то мудрец доказал, что сделать это нельзя.

— Почему нельзя? — возразил Ахилл. — Еще как можно! Да что можно — уже сделано! Solvitur ambulando (решено мимоходом). Видите ли, длина отрезков неограниченно убывала и поэтому…

— А если бы длина отрезков неограниченно возрастала? — перебила его Черепаха. — Что тогда?

— Тогда бы я не сидел там, где я сижу, — скромно ответствовал Ахилл, — а вы к этому времени уже успели бы несколько раз обойти вокруг земного шара.

— Вы мне льстите, то есть, я хочу сказать, вы мне мстите, — заметила Черепаха. — Я почти расплющена: вес-то у вас немалый. В чем, в чем, а в этом никакой ошибки нет. Если позволите, я лучше расскажу вам о состязании на другую дистанцию. Большинство людей ошибочно полагают, будто в этом состязании их отделяют от финиша лишь два-три шага. В действительности же, чтобы добраться до финиша, необходимо преодолеть бесконечно много этапов, и каждый последующий этап длиннее предыдущего.

— С превеликим удовольствием! — с жаром воскликнул греческий воин, доставая из шлема огромный блокнот и карандаш (в те далекие времена карманы были лишь у очень немногих греческих воинов). — Я весь внимание! И пожалуйста, говорите помедленнее: ведь стенографию еще не изобрели!

— О, первая аксиома Евклида! — мечтательно промолвила Черепаха. — Что может быть прекраснее тебя? И добавила, обращаясь к Ахиллу: — Вы любите «Начала» Евклида?

— Безумно! Вряд ли можно сильнее восхищаться трактатом, который не выйдет в свет в течение ещё нескольких столетий!

— Прекрасно! Мы воспользуемся рассуждением, содержащимся в первой аксиоме. Нам понадобятся лишь два шага и выведенные из них заключения. Для удобства последующих ссылок обозначим суждения A, B и Z. Итак, будьте любезны записать в свой блокнот следующее:

A) Равные одному и тому же равны между собой.
B) Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.
Z) Две стороны этого треугольники равны между собой.

Надеюсь, читатели и почитатели Евклида согласятся, что заключение Z логически следует из посылок A и B и всякий, кто сочтет истинными посылки A и B, должен будет признать истинным и заключение Z. Не так ли?

— Несомненно! С вашим утверждением согласится любой школьник младшего класса, — разумеется, не раньше, чем будут изобретены школы, а для этого придется подождать какие-нибудь две тысячи лет.

— А что, если какой-нибудь читатель не признает посылки A и B истинными? Сможет ли он тем не менее считать заключение Z истинным?

— Ну что же, найтись такой читатель вполне может. Рассуждать он станет примерно так: «Я считаю истинным условное суждение «если A и B истинны, то Z истинно», но не считаю истинными суждения A и B». Такой читатель поступит мудро, если оставит Евклида и займется футболом.

— A не найдется ли другой читатель, утверждающий, что он признает истинность суждений A и B, но не считает истинным условное суждение?

— Разумеется, может. Ему также лучше всего было бы заняться футболом.

— И ни один из этих читателей пока не должен считать заключение Z истинным в силу логической необходимости? — продолжала Черепаха.

— Пока не должен, — подтвердил Ахилл.

— Тогда я попрошу вас рассматривать меня как представителя второй категории читателей и с помощью логических доводов заставить меня признать истинность заключения Z.

— Черепаха, играющая в футбол… — начал было Ахилл, но Черепаха поспешно прервала его:

— … была бы, конечно, необычным зрелищем. Не будем уклоняться от главного. Сначала истинность заключения Z, потом футбол!

— Итак, если я правильно понял, мне вменяется в обязанность заставить вас признать истинность суждения Z, — задумчиво проговорил Ахилл. — Занимаемая вами позиция сводится к следующему. Вы признаете истинность суждений A и B, но не признаете истинность условного суждения…

— Нам будет удобнее разговаривать, если мы обозначим условное суждение C, — предложила Черепаха.

— Хорошо, — согласился Ахилл. — Итак, вы не признаете истинность суждения C:

«Если A и B истинны, то Z должно быть истинным».

— Такова моя позиция в настоящее время, — подтвердила Черепаха.

— Тогда я вынужден просить вас признать истинность C.

— Я так и сделаю, — сказала Черепаха, — как только вы запишете суждение C в свой блокнот. B нем уже есть какие-нибудь записи?

— Всего лишь несколько заметок, — ответил Ахилл, лихорадочно перелистывая страницы, — о различных памятных событиях… о битвах, в которых я отличился.

— Я вижу множество чистых страниц! — радостно воскликнула Черепаха.- Они нам все понадобятся (Ахилл содрогнулся от ужаса.) Запишите, пожалуйста:

А) Равные одному и тому же равны между собой.
В) Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.
С) Если A и B истинны, то Z должно быть истинным.
Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.

— Последнее суждение вам следовало бы обозначить буквой D, а не Z, — сказал Ахилл. — Оно идет непосредственно за тремя первыми суждениями. Если вы считаете истинными суждения A, B и C, то вам не остается ничего другого, как признать истинность суждения.

— Почему вы считаете, что я непременно должна признать истинность суждения Z?

— Потому, что оно логически следует из A, B и С. Если A, B и C истинны, то Z должно быть истинным. Надеюсь, против этого вы не станете возражать?

— Если А, B и C истинны, то Z должно быть истинным… — задумчиво повторила Черепаха. — А ведь это — новое условное суждение! И если я не убеждена в его истинности, то могу считать истинными A, B и C, но по-прежнему не признавать истинным Z. Правильно?

— Правильно, — подтвердил герой, — хотя я должен сказать, что этакое упрямство выглядит очень странным. Однако поскольку и такое возможно, я вынужден просить вас признать истинность еще одного условного суждения.

— С удовольствием! Я охотно признаю истинность этого суждения, как только вы запишете его в свой блокнот. Обозначим его D. Итак,

D) «Если A, B и C истинны, то Z должно быть истинным».

Записали?

— Записал! — радостно воскликнул Ахилл, и карандаш его быстро забегал по бумаге. — Наконец мы подошли к финишу нашего логического состязания! Уж теперь-то, признав истинность суждения A, B, C и D, вы, конечно, признаете истинность заключения Z!

— Разве это так уж необходимо? — с невинным видом спросила Черепаха. — Попробуем разобраться. Я признаю истинность суждений A, B, C и D. Но что, если я по-прежнему не признаю истинность заключения Z?

— Тогда Логика возьмет вас за горло и вынудит сделать это! — торжествующе ответил Ахилл. — Логика скажет вам: «У вас не осталось другого выхода. После того, как вы признали истинность суждений A, B, C и D, вы должны признать истинность заключения Z! — Итак, как вы видите, иного выхода нет.

— То, что мне сказала Логика, следовало бы записать, — заметила Черепаха.- Внесите, пожалуйста, в свой блокнот условное суждение, которое мы обозначим E:

E) «Если A, B, C и D истинны, то Z должно быть истинным».

До тех пор, пока я не соглашусь признать истинность суждения E, у меня нет необходимости признавать истинность суждения Z, поэтому суждение E нам просто необходимо. Вы согласны?

— Согласен, — ответил Ахилл с оттенком печали в голосе.

В этот момент неотложные дела в банке вынудили рассказчика оставить счастливую пару. Лишь через несколько месяцев ему довелось снова проходить мимо того места, где беседовали Ахилл и Черепаха. Ахилл по-прежнему сидел на спине у многотерпеливой Черепахи и что-то писал в почти заполненном блокноте.

Приблизившись, рассказчик услышал, как Черепаха сказала:

— Записали последнее условное суждение? Если я не сбилась со счета, оно должно быть тысяча первым. Осталось еще несколько миллионов. Я хочу попросить вас о личном одолжении. Вы не будете возражать, если я прочту вам короткие стишки собственного сочинения? В качестве смягчающего обстоятельства я прошу иметь в виду те споры, которые вызовет среди логиков XIX века наша беседа.

— Читайте что угодно! — с отчаянием воскликнул несчастный воин, закрывая лицо руками. И Черепаха продекламировала:

Ахиллесову пяту
Указуют все не ту.
Череп — ах! — трещит от дум:
У Ахилла хилый ум!

Интересно, что думают участники в связи с этой формулировкой?

Я бы сказал, что проблема, сходная с зеноновской, ставится применительно не к физическому движению, а к движению мысли, что ли. По-видимому, это движение мысли тоже может быть представлено неким другим способом, но при этом другом представлении не сохранится такая важная его характеристика, как «доказательность». «Пространство мысли» не метризуемо удобным способом, так сказать…

[Henrylee]

В таком случае апорией можно считать абсолютно любое утверждение. Таким образом Зенон ничего интересного опять же не придумал.

[enko]

Цитата:

Как показывает мой личный опыт, апории Зенона — идеальный тест на самостоятельность мышления. Причем это — тот самый тест, на котором могут «завалиться» люди с самыми почетными званиями. Мало того, его, как правило, не проходят именно обладатели технических дипломов и степеней, называя Зенона «софистом». Ибо «технари» привыкли оперировать четкими определениями, установленной формализацией и т. д., а апории Зенона — это тот самый гносеологический кошмар, который зрит в самый корень и ставит под сомнение любую формализацию и любые термины. Они требуют мышления, не отягощенного догмами, т. е. самостоятельного мышления. Они показывают разницу между знаниями и разумом, начитанностью и умом.

Апории Зенона не нашли удовлетворительного разрешения и поныне. Причем современные издания, в отличие от советских, с этим соглашаются: «А[пории] теперь признаются подлинными парадоксами, связанными, в частности, с описанием движения»[2]. Как вы увидите в дальнейшем, все т. н. «разрешения» апорий представляют собой логическую ошибку ignorantia elenchi, состоящую в том, что доказывается не тот тезис, который требуется доказать

Цитата:

Как верно отметил Уильям Джемс, критика Зеноновых соображений, гласящая, что если бесконечный ряд, составленный из интервалов времени, имеет конечную сумму, то, следовательно, Ахиллес должен догнать черепаху, «совершенно не попадает в цель. Зенон вполне охотно согласился бы с тем, что если черепаху вообще можно догнать, то ее можно догнать, например, в двадцать секунд; но тем не менее он настаивал бы, что ее нельзя догнать вообще»[5]. Действительно, из того факта, что весь интервал времени, который отпущен ему для этого деяния, имеет конечную меру, автоматически еще не следует вывод о том, что он в самом деле может исчерпать эту последовательность.

Наконец, формулировку апории можно изменить, не меняя сути ее проблемы: «Самый быстрый бегун не сможет догнать самого медленного (хотя при этом он не будет прекращать движения), ибо догоняющий должен прежде достичь того места, откуда сдвинулся убегающий, так что более медленный будет впереди».

В то же самое время вышеозначанное рассуждение, что сумма бесконечного числа временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени, абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться. Апория не ставит вопрос о пределе и его вычислении, апория спрашивает: как этот предел в принципе возможно достичь?

Суть проблемы заключается в интеграции бесконечного количества частей, а математический анализ рассматривает дифференциацию уже определенной, а значит, и актуализированной бесконечности: целое приращение уже дано и остается только делить — причем, в случае с бесконечно малыми величинами, уже не актуально, а потенциально! (об этом мы еще будем говорить) — его на части; в то время как Зенон задается вопросом, а как это целое из таких частей составить (а уже потом пробовать его делить)? Получается, само решение возможно только при завершении процесса, т. е., по сути, возможно только при актуальной бесконечности, а это — не что иное, как «разрешение» апории путем постулирования наличия решения. Согласно общим аргументам Зенона, мы не можем получить ни Δs, ни Δt, а потому вообще не можем обратиться к математическому анализу. Значит, «разрешение» апорий с помощью математического анализа есть не что иное, как логическая ошибка circulus vitiosus.

http://zenoon.narod.ru/aporia.htm

[PAV]

Неубедительно. Вероятно, автор данного текста сам не понимает объяснений этого "парадокса", откуда делает далеко идущий вывод, что его до сих пор никто не может "удовлетворительно объяснить".
enko, не следуйте рассуждениям людей, мыслящих на уровне прошлых тысячелетий.

[enko]

Цитата:

Неубедительно. Вероятно, автор данного текста сам не понимает объяснений этого "парадокса", откуда делает далеко идущий вывод, что его до сих пор никто не может "удовлетворительно объяснить".
enko, не следуйте рассуждениям людей, мыслящих на уровне прошлых тысячелетий.

Я не следую, просто хочу разобраться. Чем больше читаю такие статьи тем еще больше запутываюсь..

[PAV]

Вот Вам уже давно все твердят: не читайте такие статьи. Обсуждать здесь взгляды неизвестного автора бессмысленно. Ну не понимает чего-то человек, что здесь можно поделать. Если Вам лично что-то непонятно, то постарайтесь это сформулировать и задайте вопрос, тогда еще обсуждение будет иметь смысл. Можете еще раз перечитать эту тему, здесь высказывались куда более разумные соображения, чем в упоминаемой Вами статье (хотя в последней гораздо больше вумных слов и заумных оборотов).

Добавлено спустя 10 минут 16 секунд:

Если говорить о греках, то они вообще много чего не знали и не имели многих средств, доступных сегодня. Они действительно предпочитали иметь дело с неподвижными сущностями, поэтому для описания движения достаточно пригодных средств не имели. Побаивались бесконечности. Так вообще было с любой абстрактной теорией: в начале люди ее осторожно "ощупывали" и смотрели, как с ней правильно работать, чтобы не попасть впросак. Но выдавать античные проблемы за современные - это, как уже указывали выше, признак незрелости мышления. Так человек, который никогда не видел ни автомобиля, ни поезда, ни самолета, может "научно" доказывать, что человек не может перемещаться со скоростью больше, скажем, 40 км/ч, потому что, мол, ни одна лошадь с такой скоростью бежать не сможет. Известен исторический факт, что незадолго до создания железных дорог некий физик доказывал, что передвижение на них будет смертельно для человека. То ли от большой скорости, то ли при движении в тоннелях что-то там в мозгу необратимое произойдет.

На самом деле, если вернуться к Зенону, то попробуйте сперва сформулировать для себя, в чем собственно проблема. Ну да, сначала должна пройти половина, потом еще - половина от половины и т.д. Из чего, собственно, сделан вывод, что Ахиллес никогда не догонит черепаху? Как он доказан? На мой взгляд, он просто возникает просто на ровном месте и к предыдущему построению не имеет никакого отношения.

В общем, разбирайтесь.

[Someone]

PAV писал(а):

На самом деле, если вернуться к Зенону, то попробуйте сперва сформулировать для себя, в чем собственно проблема. Ну да, сначала должна пройти половина, потом еще - половина от половины и т.д. Из чего, собственно, сделан вывод, что Ахиллес никогда не догонит черепаху? Как он доказан? На мой взгляд, он просто возникает просто на ровном месте и к предыдущему построению не имеет никакого отношения.

Разумеется, ничего Зенон не доказал. Он просто построил рассуждение, которое никогда не заканчивается. Какое отношение это никогда не заканчивающееся рассуждение имеет к вопросу о том, догонит ли Ахиллес черепаху? В лучшем случае можно сделать вывод, что такое рассуждение не позволяет решить вопрос ввиду того, что оно не заканчивается. Кто мешает рассуждать так, как это делают в школе при решении аналогичных задач на движение? Там рассуждение конечное и даёт результат сразу.

P.S. Когда-то я читал о реакции, если правильно сейчас помню, Норберта Винера на эту апорию. Когда ему рассказали это рассуждение, он ответил: "Этот грек сошёл с ума!"

[bot]

Шёл Зенон по дороге, навстречу ему ползла черепаха, а за ней гнался Ахилл.
- А ведь не догонит, подумал Зенон и поспешил домой, чтобы записать для потомков эту мысль.

Добавлено спустя 1 минуту 20 секунд:

А вот если бы соседи Зенона поставили бы его дом на катки и двигали бы его потихоньку, то мы бы так бы и не узнали этот прикол с черепахой.

[Профессор Снэйп]

Ахиллес и черепаха бегают наперегонки по ординалам. Скорость черепахи равна $1$, а скорость Ахиллеса равна $\omega$ (то есть, другими словами, если Ахиллес и черепаха начнут движение на ординале $\alpha$, то через время, равное ординалу $t$, Ахиллес окажется на ординале $\alpha + \omega \cdot t$, а черепаха на ординале $\alpha + t$, определение операций на ординалах см. здесь).

1) Ахиллес и черепаха стартовали в один и тот же момент времени, причём Ахиллес стартовал из нуля, а черепаха --- с ординала $\omega^\omega$. Когда Ахиллес догонит черепаху?

2) После первого забега черепаха вконец обнаглела и сама дала фору Ахиллесу. Теперь черепаха стартует из нуля, а Ахиллес --- из ординала $\omega^\omega$. Сможет ли Ахиллес убежать от черепахи?

[Padawan]

при $t=\omega_1$ они будут оба стоять на $\omega_1$ так? А потом Ахиллес её опять обгонит, а потом опять сравняются... А какое интересно наименьшее время, когда они сравняются?

[Профессор Снэйп]

Ну, это совсем не сложно найти

[Таня Тайс]

Так это правда- не существует бесконечности на земле? Это только абстракция математики?
Извините за глупый вопрос. Давно меня мучает.

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Так это правда- не существует бесконечности на земле?

Да, есть лишь покой и воля....

[e2e4]

Не очень внимательно прочитал тему, но вроде бы тут ясно не прозвучал один немаловажный, с точки зрения Греков факт: Ахиллес не просто подбегает к стоящей на месте черепахе, но и черепаха уползает от Ахиллеса. Получается, что когда Ахиллес пробежит разделяющее их расстояние, сама черепаха отползет на какое-то, пусть меньшее, расстояние. Вывод делается о том, что всегда, когда Ахиллес пробегает расстояние от своего текущего положения до положения черепахи, зафиксированное в момент начала условного начала бега Ахиллеса, черепаха всегда проползет еще чуть-чуть.

По-моему, так изначально звучит парадокс, а вовсе не в терминах половин пути.

По-моему я уже давал ссылку на замечательную книгу о парадоксах:
http://golovolomka.hobby.ru/paradox1.shtml
ВНИМАНИЕ! В данный момент при открытии данного сайта Касперский предупреждает о попытке загрузке трояна. К сожалению, другой ссылки на эту книгу я не знаю, поэтому открывайте на свой стах и риск.