2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Существуют ли такие поверхности?
Сообщение02.07.2015, 06:19 
Аватара пользователя


20/07/11

205
Общеизвестно, что тензор кривизны (определение которого относится к пространству любого числа измерений) обуславливает отклонение геодезических, и что существуют поверхности (пространства двух измерений) с ненулевым значением кривизны.

Если перейти к обобщенной римановой геометрии, например, к масштабно инвариантной геометрии Вейля, то тензор кривизны будет равен, согласно Вейлю, ${P^i}_{klm} - {{{0,5{\delta}}^i}_k}{F_{kl}}$, где ${P^i}_{klm}$ есть "гравитационная" часть кривизны, образованная производными от связностей и их произведениями, а масштабный тензор $F_{kl}$ образован из производных масштабного вектора аналогично тому, как тензор электромагнитного поля - из производных электромагнитного потенциала.

Приравнивание $F_{kl}$ нулю приводит к римановой (и в частном случае к евклидовой) геометрии. А если поступить иначе и приравнять нулю производные от метрического тензора и, следовательно, "гравитационную" часть тензора кривизны? В таком случае направление бесконечно малого вектора при параллельном переносе не изменяется, - но тензор кривизны и, следовательно, геодезическое отклонение все еще могут быть отличны от нуля.

Если снова ограничиться наглядным случаем пространства двух измерений, когда индексы тензора кривизны могут пробегать значения 1 и 2, в силу свойств симметрии образующего масштабную часть кривизны масштабного тензора и значений единичного тензора, из всех ее независимых масштабных компонент остается ${R^1}_{112}$, - и, следовательно, геодезическое отклонение также будет отличаться от нуля при отличном от нуля $F_{12}$ .

Так существуют ли поверхности с ненулевыми кривизной и геодезическим отклонением чисто масштабного происхождения, что прямо следует из масштабно инвариантной геометрии Вейля, - и если да (а их реальность должна быть независима от того, реализуется ли геометрия Вейля физически в пространстве-времени как электромагнитное или любое иное негравитационное геометрическое поле, поскольку поверхности с отличными от нуля кривизной и геодезическим отклонением связностного происхождения можно было бы создать и в том случае, если бы ${P^i}_{klm}$ пространства-времени и не проявлялась физически как гравитация), то что это за поверхности - конусы, на которых при движении вдоль отрезков от оснований к вершинам прямые сближаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли такие поверхности?
Сообщение02.07.2015, 08:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Существуют. Ну, может не именно такие, но очень близкие к таким. Я и сам придумал множество подобных поверхностей, но никому о них не расскажу. Потому что я жадный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли такие поверхности?
Сообщение02.07.2015, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69138
Lucis в сообщении #1032901 писал(а):
Если перейти к обобщенной римановой геометрии, например, к масштабно инвариантной геометрии Вейля, то тензор кривизны будет равен, согласно Вейлю, ${P^i}_{klm} - {{{0,5{\delta}}^i}_k}{F_{kl}}$, где ${P^i}_{klm}$ есть "гравитационная" часть кривизны, образованная производными от связностей и их произведениями, а масштабный тензор $F_{kl}$ образован из производных масштабного вектора аналогично тому, как тензор электромагнитного поля - из производных электромагнитного потенциала.

Дайте нормальное объяснение и/или ссылку. Сейчас это звучит как "дерево, такое же как слон, только дерево".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group