Существуют ли такие поверхности?

[Lucis]

Общеизвестно, что тензор кривизны (определение которого относится к пространству любого числа измерений) обуславливает отклонение геодезических, и что существуют поверхности (пространства двух измерений) с ненулевым значением кривизны.

Если перейти к обобщенной римановой геометрии, например, к масштабно инвариантной геометрии Вейля, то тензор кривизны будет равен, согласно Вейлю, ${P^i}_{klm} - {{{0,5{\delta}}^i}_k}{F_{kl}}$, где ${P^i}_{klm}$ есть "гравитационная" часть кривизны, образованная производными от связностей и их произведениями, а масштабный тензор $F_{kl}$ образован из производных масштабного вектора аналогично тому, как тензор электромагнитного поля - из производных электромагнитного потенциала.

Приравнивание $F_{kl}$ нулю приводит к римановой (и в частном случае к евклидовой) геометрии. А если поступить иначе и приравнять нулю производные от метрического тензора и, следовательно, "гравитационную" часть тензора кривизны? В таком случае направление бесконечно малого вектора при параллельном переносе не изменяется, - но тензор кривизны и, следовательно, геодезическое отклонение все еще могут быть отличны от нуля.

Если снова ограничиться наглядным случаем пространства двух измерений, когда индексы тензора кривизны могут пробегать значения 1 и 2, в силу свойств симметрии образующего масштабную часть кривизны масштабного тензора и значений единичного тензора, из всех ее независимых масштабных компонент остается ${R^1}_{112}$, - и, следовательно, геодезическое отклонение также будет отличаться от нуля при отличном от нуля $F_{12}$ .

Так существуют ли поверхности с ненулевыми кривизной и геодезическим отклонением чисто масштабного происхождения, что прямо следует из масштабно инвариантной геометрии Вейля, - и если да (а их реальность должна быть независима от того, реализуется ли геометрия Вейля физически в пространстве-времени как электромагнитное или любое иное негравитационное геометрическое поле, поскольку поверхности с отличными от нуля кривизной и геодезическим отклонением связностного происхождения можно было бы создать и в том случае, если бы ${P^i}_{klm}$ пространства-времени и не проявлялась физически как гравитация), то что это за поверхности - конусы, на которых при движении вдоль отрезков от оснований к вершинам прямые сближаются?

[Утундрий]

Существуют. Ну, может не именно такие, но очень близкие к таким. Я и сам придумал множество подобных поверхностей, но никому о них не расскажу. Потому что я жадный.

[Munin]

Lucis в сообщении #1032901 писал(а):

Если перейти к обобщенной римановой геометрии, например, к масштабно инвариантной геометрии Вейля, то тензор кривизны будет равен, согласно Вейлю, ${P^i}_{klm} - {{{0,5{\delta}}^i}_k}{F_{kl}}$, где ${P^i}_{klm}$ есть "гравитационная" часть кривизны, образованная производными от связностей и их произведениями, а масштабный тензор $F_{kl}$ образован из производных масштабного вектора аналогично тому, как тензор электромагнитного поля - из производных электромагнитного потенциала.

Дайте нормальное объяснение и/или ссылку. Сейчас это звучит как "дерево, такое же как слон, только дерево".