Центр плюс коммутативный идеал = центральный (Понтрягин)?

[пианист]

Что-то торможу.
Встретил в "Непрерывных группах" Понтрягина следующее рассуждение ($\S 61$, теорема 100).
Если $R_0$ - центр алгебры Ли, а $R_1$ ее коммутативный идеал, $R_0 \cap R_1 = \{0\}$, то идеал $R_0+R_1$ центральный (приведение к противоречию).
Не понимаю, почему так? $[r,r_0+r_1]=[r,r_0]+[r,r_1]=[r,r_1]=r_1'$. Еще имеем $[r_1',r_1'']=0$, и это все, по моему.
Откуда бы взяться $[r,r_0+r_1]=0$.

[Robitaille]

Но ведь если $R_0 \cap R_1=\{0\}$ и $[R, R_1]=\{0\}$, то $R_1=\{0\}$.

[пианист]

Не совсем понял мысль.
$[R, R_1]$ не ноль, $[R, R_1]\subseteq R_1$.
И дальше тоже, даже если бы и..

[g______d]

пианист в сообщении #1029903 писал(а):

Встретил в "Непрерывных группах" Понтрягина следующее рассуждение ($\S 61$, теорема 100).
Если $R_0$ - центр алгебры Ли, а $R_1$ ее коммутативный идеал, $R_0 \cap R_1 = \{0\}$, то идеал $R_0+R_1$ центральный (приведение к противоречию).

Ну вообще-то у Понтрягина алгебра имеет вид $R_0\oplus R_1\oplus\ldots\oplus R_n$, где все $R_i$ -- идеалы и прямые слагаемые. В таком виде утверждение очевидно, поскольку элементы разных слагаемых коммутируют по определению прямой суммы.

[пианист]

В теореме 100 это как раз доказывается..

[g______d]

Ну да, но утверждение, о котором говорите Вы, там возникает уже после того, как появилась прямая сумма; оно используется во фразе "Действительно, если бы алгебра $R_i$, $i>0$, была коммутативна, то идеал $R_0+R_i$ был бы центральным, что невозможно". К тому моменту уже известно, что $R_i$ -- это не просто идеал, а прямое слагаемое.

[пианист]

Сори, туплю ;(
Понял.
g______d, спасибо!