Задача Коши с параметром

[Co1l]

Найти агрегат $Z(t)=\frac{\partial y(t,\mu)}{\partial\mu}, &\text{при }\mu=0,$
где, $y(t,\mu)$ - решение задачи Коши:

$\begin{cases} y'=e^{\mu^2y+t^2}y,\\ y(t,\mu)=\mu^2,&\text{при $t=\mu$,}\\ \mu - \text{параметр.} \end{cases}$

С задачами Коши с параметром никогда не сталкивался, преподаватель сказал почитать его лекции. В них, к сожалению, ничего дельного не оказалось, только док-во того факта, что решение задачи непрерывно зависит от параметра. Вопрос вот в чем.
Как подступиться к этой задаче? Можете посоветовать, где можно найти информацию, а лучше похожие примеры?

[Brukvalub]

А.Ф. Филиппов Введение в теорию диф. ур-ний, Гл. 5 "Дифференцируемость решения по параметру и ее применения".

[DiMath]

Co1l
Продифференцируйте уравнение по параметру, заранее положив $u(t,\mu)=\frac{\partial y(t,\mu)}{\partial \mu}$. Выразите всё в новых обозначениях и рассмотрите $\mu=0$.

[Brukvalub]

Ну, от студентов я еще слышал, что все типы задач по ОДУ великолепно разобраны в соответствующем томе Антидемидовича, ног сам этого не проверял...

[Co1l]

Извините, не успел ответить вчера. Спасибо DiMath и Brukvalub
за наводки и литературу, вроде бы разобрался. Если будут вопросы напишу в этой теме

[Co1l]

Вот что получается:

$\begin{cases} y'=e^{\mu^2y+t^2}y,\\ y(t,\mu)=\mu^2,&\text{при $t=\mu$,}\\ \end{cases}$

Дифференцирую по $\mu$ и обозначаю $y'_{\mu}=z$:

$\begin{cases} \frac{dz}{dt}=(2\mu y + \mu ^2z)e^{\mu ^2y+t^2}y+e^{\mu ^2y+t^2}z,\\ z(0,\mu)=2\mu\\ \end{cases}$

Полагая $\mu=0$, получаем задачу для функции $\frac{dy}{d\mu}_{(\mu=0)}=z(t,0)$:

$\begin{cases} \frac{dz(t,0)}{dt}=e^{t^{2}}z(t,0),\\ z(0,0)=0\\ \end{cases}$

А дальше я не могу понять, что делать. То есть понятно, что нам нужно решить эту задачу Коши и найти решение $z(t)$, только у меня не получается это сделать, либо получается неправильно( решение $z(t)=0$). Подскажите, что делать дальше?

[DiMath]

Co1l
Я не вникал в арифметику, но, судя по последней системе - $z$ не выражается в элементарных функциях. Возможно, придется тянуть интеграл, не беря его.

[Co1l]

DiMath
А куда его тащить то? Мне казалось, что на этом шаге мы и заканчиваем, выражая $z(t)$, используя начальные условия. И я не могу понять, что делать дальше, если выразить так не получается.

-- 01.07.2015, 23:27 --

То есть, дальше будет так?

$\frac{dz}{z}=e^{t^2}dt$;

$\ln(z)=C_1+\int\limits_{}^{}e^{t^2}dt$;

$z=C_2e^{\int\limits_{}^{}e^{t^2}dt}$.

Используя начальные условия, получаем что $C_2=0$, т.о.: $z(t)=0$
Так?

[DiMath]

Co1l
Объясните переход между первой и второй системы во второй строчке

[Co1l]

DiMath
Не понял, какой переход Вы имеете ввиду? Можете "ткнуть пальцем"?

[Otta]

Было при $t=\mu$, стало при $t=0$.

[Co1l]

Otta
К сожалению, преподаватель написал не очень разборчиво, в итоге я взял $t=0$. Хотя мне вообще показалось, что это одно и то же

[Otta]

Вообще-то нет. Придется разобрать, что же там написано на самом деле.

[Co1l]

Otta
А разве что-то измениться в данном случае?
Ладно, давайте будем считать при $t=0$.
Я все верно написал?

[Otta]

Co1l в сообщении #1032806 писал(а):

А разве что-то измениться в данном случае?

Вот смотрите: пусть $y(t,\mu)=t\mu$. Тогда $y(\mu,\mu)=\mu^2$. Но $y'_\mu(t,\mu)=t$, и при $t=0$ равно нулю, а при $t=\mu$ равно $\mu$.

Что характерно, ни там, ни там это не $2\mu$.