тригонометрия

[Stensen]

доброго всем времени суток, Уважаемые, помогите c примерчиком, плз.

$ x + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{35}{12}$.
Делаю замену: $ x= \frac{1}{\cos t} $ при: $ t$\in (0, \frac{\pi}{2}) $ и после преобразований получаю:

$ (1) $$\left\{ \begin{array}{rcl} \sin t + \cos t = \frac{35}{12}\sin t\cdot\cos t \\ \sin t\cdot\cos t \ne 0 \end{array} \right.$$ $

Делаю еще замену: $ a = \sin t + \cos t $, возведу в квадрат и получу: $ \sin t \cdot$\cos t = \frac{a^2-1}{2} $, подставлю это в (1) и получу:

$ 35a^2 - 24a - 35 = 0 $, откуда: $ a_1=\frac{7}{5}, a_2=-\frac{5}{7} $, т.к. $ a>0 $ на $ t$\in (0, \frac{\pi}{2}) $, то: $ a_2<0 $ корнем не является. Решая: $ \sin t + \cos t = \frac{7}{5} $ по формуле доп.аргумента, $ \sin t + \cos t = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos t) $получу: $ t=\frac{\pi}{4} \pm \arccos\frac{7}{5\cdot\sqrt{2}} $. Период $ 2\pi k$ отбросил, т.к. $ t$\in (0, \frac{\pi}{2}) $.
Возвращаясь к первой замене, решаю: $ x= \frac{1}{\cos (\frac{\pi}{4} \pm \arccos\frac{7}{5\cdot\sqrt{2}})} $ и получаю ответ, не совпадающий с ответом задачи: $ x_1=\frac{5}{3}, x_2=\frac{5}{4} $.
Подскажите, плз, может не правильно решаю?

[ИСН]

Вы уверены в своей способности отличать одинаковое от разного?

[Stensen]

подозреваю, что Вы имеете в виду, но я застрял именно на этом, поэтому и спрашиваю.

[ИСН]

Ваш ответ совпадает с правильным.

[2old]

Stensen
формула косинуса суммы?

[TOTAL]

Stensen в сообщении #1032078 писал(а):

$ x= \frac{1}{\cos (\frac{\pi}{4} \pm \arccos\frac{7}{5\cdot\sqrt{2}})} $

Можно не связываться с арккосинусами, а решать естественным образом:
$x=\frac{y}{\sqrt{y^2 - 1}}$, $y=\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Из $x + y = 35/12$ и $(x^2 - 1)(y^2 -1) = 1$ (из квадратного уравнения) находим $xy = 25/12$

[Stensen]

всем гранд спасиб, разобрался