2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение H в прямую сумму
Сообщение27.06.2015, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
926
матмех спбгу
Пусть $A$ - самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$. Рассмотрим следующие подпространства $H$.
Пусть $\{e_k\}$ - ортонормированный базис в $H$. Положим $x_1 = e_1$ и $H_1 = \overline{Lin}\{x_1,Ax_1,A^2x_1,...\}$. Далее возьмем наименьший номер $s$, такой что $e_s \notin H_1$. Положим $x_2 = P_{H_1^\bot}e_s$ и $H_2 = \overline{Lin}\{x_2,Ax_2,A^2x_2,...\}.$ И так далее.
Не могу понять почему $H_n$ попарно ортогональны и $Lin\{x_1,...,x_n\} \supset Lin\{e_1,...,e_n\}$.

В силу того, что $H_n$ - инвариантно относительно $A$, выполнено $H_{n+1} \bot H_{n}$. Что делать при других индексах - не ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение H в прямую сумму
Сообщение28.06.2015, 00:17 
Заслуженный участник


23/07/08
9161
Харьков
А Вы можете ещё описать явно построение $H_3$ ?
Вот построили $H_2$. Теперь возьмём наименьший номер $k$, такой, что $e_k$ не принадлежит... чему? Просто $H_2$ ? А вдруг $e_k\in H_1$ ? Этому ведь ничего не мешает. Но тогда $H_3$ точно не будет ортогонально $H_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение H в прямую сумму
Сообщение28.06.2015, 08:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
926
матмех спбгу
svv в сообщении #1031711 писал(а):
А Вы можете ещё описать явно построение $H_3$ ?

А вот в конспекте этот момент пропущен :D . Это меня и запутало.

Тогда, по всей видимости, на $n$-ом шаге стоит брать наименьший $s$, такой что $e_s \notin \widetilde{H} = H_1 \oplus ... \oplus H_{n-1}$ и $x_n = P_{\widetilde{H}^\bot}e_s$. Тогда $H_n$ попарно ортогональны по построению. А этот вектор $e_s$ будет лежать в $H' = H_1 \oplus ... \oplus H_n$. Каждый раз мы берем наименьший индекс $s$, так что в $H'$ как минимум лежат первые $n$ векторов исходного базиса. Thus, $Lin\{x_1,...,x_n\} \supset Lin\{e_1,...,e_n\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение H в прямую сумму
Сообщение28.06.2015, 13:56 
Заслуженный участник


23/07/08
9161
Харьков
Хорошо! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение H в прямую сумму
Сообщение29.06.2015, 09:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
926
матмех спбгу
Опять вылез недочет: из того, что e_1,...,e_n \in H_1 \oplus ... \oplus H_n$ не следует
demolishka в сообщении #1031757 писал(а):
$Lin\{x_1,...,x_n\} \supset Lin\{e_1,...,e_n\}$.

Тем не менее, $H = \bigoplus\limits_{n=1}^{\infty}H_n$. Т.к. из представления $x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} P_{H_n}x + y$, где $y \bot H_n \ \forall n$ следует, что $y \bot H_1 \oplus ... \oplus H_n$, и следовательно, $y \bot e_n \ \forall n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group