Разложение H в прямую сумму

[demolishka]

Пусть $A$ - самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$. Рассмотрим следующие подпространства $H$.
Пусть $\{e_k\}$ - ортонормированный базис в $H$. Положим $x_1 = e_1$ и $H_1 = \overline{Lin}\{x_1,Ax_1,A^2x_1,...\}$. Далее возьмем наименьший номер $s$, такой что $e_s \notin H_1$. Положим $x_2 = P_{H_1^\bot}e_s$ и $H_2 = \overline{Lin}\{x_2,Ax_2,A^2x_2,...\}.$ И так далее.
Не могу понять почему $H_n$ попарно ортогональны и $Lin\{x_1,...,x_n\} \supset Lin\{e_1,...,e_n\}$.

В силу того, что $H_n$ - инвариантно относительно $A$, выполнено $H_{n+1} \bot H_{n}$. Что делать при других индексах - не ясно.

[svv]

А Вы можете ещё описать явно построение $H_3$ ?
Вот построили $H_2$. Теперь возьмём наименьший номер $k$, такой, что $e_k$ не принадлежит... чему? Просто $H_2$ ? А вдруг $e_k\in H_1$ ? Этому ведь ничего не мешает. Но тогда $H_3$ точно не будет ортогонально $H_1$.

[demolishka]

svv в сообщении #1031711 писал(а):

А Вы можете ещё описать явно построение $H_3$ ?

А вот в конспекте этот момент пропущен . Это меня и запутало.

Тогда, по всей видимости, на $n$-ом шаге стоит брать наименьший $s$, такой что $e_s \notin \widetilde{H} = H_1 \oplus ... \oplus H_{n-1}$ и $x_n = P_{\widetilde{H}^\bot}e_s$. Тогда $H_n$ попарно ортогональны по построению. А этот вектор $e_s$ будет лежать в $H' = H_1 \oplus ... \oplus H_n$. Каждый раз мы берем наименьший индекс $s$, так что в $H'$ как минимум лежат первые $n$ векторов исходного базиса. Thus, $Lin\{x_1,...,x_n\} \supset Lin\{e_1,...,e_n\}$.

[svv]

Хорошо!

[demolishka]

Опять вылез недочет: из того, что e_1,...,e_n \in H_1 \oplus ... \oplus H_n$ не следует

demolishka в сообщении #1031757 писал(а):

$Lin\{x_1,...,x_n\} \supset Lin\{e_1,...,e_n\}$.

Тем не менее, $H = \bigoplus\limits_{n=1}^{\infty}H_n$. Т.к. из представления $x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} P_{H_n}x + y$, где $y \bot H_n \ \forall n$ следует, что $y \bot H_1 \oplus ... \oplus H_n$, и следовательно, $y \bot e_n \ \forall n$.