Интегрирование подстановкой (+ дискуссия о дифференциалах)

[незваный гость]

bot писал(а):

Да не возникает здесь порочного круга

Действительно, не возникает. То есть Вы «очень аккуратно всё определили, чтобы избежать» его.

Правда, при таком подходе по-прежнему остаются вопросы: почему $\frac{{\rm d}^2 y}{{\rm d} x^2}$, почему $\int … {\rm d}x$, и так далее. Может быть, это связано с тем, что я не видел полное формальное построение, которое Вы описываете. Оно есть в указанной Dan B-Yallay книжке?

[offtop] Была на форуме тема о том, что такое ряд. В общем, плохо кончила: не так-то всё просто с этим термином. [/offtop]

[bot]

незваный гость писал(а):

Правда, при таком подходе по-прежнему остаются вопросы: почему $\frac{{\rm d}^2 y}{{\rm d} x^2}$, почему $\int … {\rm d}x$, и так далее.

На первый вопрос ответ очевиден - это опять отношение второго дифференциала функции к квадрату дифференциала переменной и равно второй производной.
Здесь другое возникает - почему при втором дифференцировании надо брать то же самое приращение, что и при первом? Видимо в этом просто нет потребности.
На второй ..., ммм, наверно так: мы ведь говорим, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию (с точностью до константы)? Ну дык, а что такое дифференцирование? По-буквоедски - это взятие дифференциала, а не производной. Вот тут и dx кстати оказывается.

Цитата:

Может быть, это связано с тем, что я не видел полное формальное построение, которое Вы описываете. Оно есть в указанной Dan B-Yallay книжке?

Не знаю, уж где-нибудь есть, наверное. Когда мне пришлось читать матан экономистам, тут и вспомнил про свой случай на экзамене, который и случился-то из-за того, что мне не понравился традиционный подход к касательной. Так что это мой велосипед.

[незваный гость]

bot писал(а):

На первый вопрос ответ очевиден - это опять отношение второго дифференциала функции к квадрату дифференциала переменной и равно второй производной.

Я бы тоже так определял. Только вот: что такое второй дифференциал? Вторая главная линейная часть приращения? И почему это Вы вдруг обозначили второй верхним индексом, а не нижним? И, кстати, как Вы будете его интегрировать? $\int {\rm d}^2 x$?

Если уж быть точным, то интегрирование никто не определяет. Обычно определяют первообразную, и доказывают теорему о связи первообразной и производной. Если идти по пути дифференциалов, возникает логичный вопрос: почему сумма главных линейных приращений равна (с точностью до константы) функции (что тоже, строго говоря, верно только для хорошей функции).

Я добавлю: а что такое ${\rm d} f(x, y)$? Это ведь тоже логичный вопрос. И почему у тождественной функции разные главные линейные части: ${\rm d} x$, ${\rm d} y$, ${\rm d} z$? (В контексте ${\rm d} f(x) = f'(x) {\rm d} x$, ${\rm d} f(y) = f'(y) {\rm d} y$.) И вообще — а что такое главная линейная часть формально? Чтобы можно было бы осмысленно говорить о главная линейная части тождественной функции.

bot писал(а):

мы ведь говорим, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию? Ну дык, а что такое дифференцирование? По-буквоедски - это взятие дифференциала, а не производной. Вот тут и dx кстати оказывается.

«Мы говорим Ленин, подразумеваем — партия, мы говорим партия, подразумеваем — Ленин.»

Многие термины, которые мы говорим, имеют исторические корни. Мы говорим бесконечно-малая, подразумеваем — поведение функции, мы говорим сумма ряда, подразумеваем — предел. Поэтому-то, мне кажется, что «говорим» плохо обосновывает формальную суть вещей.

Самое противное — это то, что дифференциал кажется интуитивно понятным. Не случайно он появился в работах Лейбница. Но не так-то он прост (по-моему, на построение полной теории ушло 150-200 лет). А рассуждения классиков были не всегда формальны — вспомните разложение синуса в произведение у Эйлера.

[AD]

Где-то я видел такое определение: функция $f$ называлась гладкой в точке $x$, если $f(x+h)-2f(x)+f(x-h)=\overline{\overline{o}}(h)$. То есть типа $f(x)=1/x$, доопределённая в нуле нулём, будет гладкой в нуле. А вы говорите, линейная часть приращения Прошлое тысячелетие это всё!

[vpx9000]

Подскажите пожалуйста, вот задана функция параметрически:
x=6cost y=2*3^1/2 (y>=2*3^1/2)
y=4sint

Как определить граници интегрирования ?

[Бодигрим]

Цитата:

y=2*3^1/2 (y>=2*3^1/2)

Как связаны эти два выражения?

Цитата:

Как определить граници интегрирования ?

А где вы ее хотите проинтегрировать?

Учитывая периодичность $\cos t$ и $\sin t$, брать границы, с разностью больше $2\pi$ не имеет смысла.

[нг]

vpx9000
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Как Вы могли заметить, все остальные участники следуют правилам.

[Padawan]

bot писал(а):

Вот $\frac{\partial y}{\partial x}$ - это единый символ и никак не дробь.

Рискну влезти в эту очень интересную дискуссию Частная производная это же обыкновенная производная, при фиксированных остальных аргументах, так что её тоже можно воспринимать как дробь и соответствующим образом с ней работать. В термодинамике особенно заметно.

$\frac{d^2 y}{dx^2}$ есть вторая производная, только если $x$ -- независимый аргумент, так что это менее удачное обозначение.

$dx=\Delta x$ -- для независимого аргумента