Векторные пространства, матрица отображения.

[karandash_oleg]

Точно, именно такого вектора линейная оболочка $\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 0\\ -1\\ \end{pmatrix}$

Исправился

Да, с размерностью я перепутал, там будет размерность $2$, потому как когда решим систему уравнений (из одного уравнения), там будет две свободных переменных, две константы, два линейно независимых базисных вектора в фундаментальной системе решений.


P.S. Как же сильно я туплю

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1031533 писал(а):

там будет размерность $2$, потому как когда решим систему уравнений (из одного уравнения), там будет две свободных переменных, две константы, два линейно независимых базисных вектора в фундаментальной системе решений.

Не только поэтому: надо просто помнить, что сумма размерностей ядра и образа равна -- чему?...

[karandash_oleg]

ewert в сообщении #1031536 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1031533 писал(а):

там будет размерность $2$, потому как когда решим систему уравнений (из одного уравнения), там будет две свободных переменных, две константы, два линейно независимых базисных вектора в фундаментальной системе решений.

Не только поэтому: надо просто помнить, что сумма размерностей ядра и образа равна -- чему?...

Размерности пространства

-- 27.06.2015, 12:29 --

Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения $\mathcal{A}\colon V\to W$ равна размерности пространства прообразов:

$\dim \ker \mathcal{A}+ \dim \operatorname{im}\mathcal{A}= \dim{V}\,.$

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1031538 писал(а):

равна размерности пространства прообразов:

Верно. Значит, размерность ядра Вам известна. Значит, нужно найти два независимых вектора, принадлежащих ядру. Один из таких векторов задан непосредственно в условии, другой -- почти непосредственно.

[karandash_oleg]

Еще один вектор -- это $\vec{e_1}-\vec{e_2}$, он принадлежит ядру, но какой же третий и зачем мы ищем эти векторы? Хотя да, нужно найти ведь ядро. Но матрица отображения та сойдет или нет?

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1031545 писал(а):

но какой же третий

Какой третий?

karandash_oleg в сообщении #1031545 писал(а):

Но матрица отображения та сойдет или нет?

Сойдёт.

[karandash_oleg]

Да, точно, третий и не нужен, ведь размерность ядра равна $2$, там два линейно независимых вектора.
Спасибо большое! С ядром разобрался.

Но дело в том, что в книжке проводились какие-то манипуляции с этой матрицей перехода (то есть по каким-то причинам она не годится), в результате получили вот такую матрицу

$$\begin{pmatrix} 0&-2 &-1 \\ 0& 0 &0 \\ 0 &4 & 2\\ 0&-2 &-1 \\ \end{pmatrix}$$

Так вот -- я пока что не пойму-- для чего это делали. Идейно, насколько, я понимаю, там перешли к базису $\{e_1+e_2+e_3,e_1+e_2,e_1\}$ и писали матрицу перехода итп

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1031578 писал(а):

в книжке проводились какие-то манипуляции с этой матрицей перехода (то есть по каким-то причинам она не годится)

В математике есть два разных понятия: матрица перехода и манипулированная матрица перехода. Они не обязаны совпадать и, более того, обязаны не совпадать. О целях же манипуляций остаётся только гадать.

[svv]

karandash_oleg
В той матрице во второй строке замените $4$ на $-4$.

[karandash_oleg]

svv в сообщении #1031582 писал(а):

karandash_oleg
В той матрице во второй строке замените $4$ на $-4$.

Спасибо!

$A=\begin{pmatrix} -1&-1&2\\ 2&2&-4\\ 0&0&0\\ -1&-1&2\\ \end{pmatrix}$

-- 27.06.2015, 17:17 --

ewert в сообщении #1031580 писал(а):

В математике есть два разных понятия: матрица перехода и манипулированная матрица перехода. Они не обязаны совпадать и, более того, обязаны не совпадать. О целях же манипуляций остаётся только гадать.

А о чем тогда говорил iffat здесь ?

iifat в сообщении #1031501 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1031399 писал(а):

У меня даже есть дальнейшее решение

Испанского тоже не знаю, но усматриваю там не $\vec{e_1}+\vec{e_1}+\vec{e_1}$, а $\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}$. Не уверен, поскольку условия вы не привели. На всякий случай: не сочтите это просьбой о ещё одной картинке. Мне лично и первой много.
К тому ж, обратите внимание на матричные формулы. «Матрицу преобразования» можно умножить слева, можно справа. Внимательно смотрите, какую вы ищете, не то найдёте правильную, но не ту.

[iifat]

ewert в сообщении #1031580 писал(а):

манипулированная матрица перехода

Хм. Гугл вот так запросто не даёт ответа, а заводит в какие-то страшные места. Не подскажете, где б про это почитать?

[ewert]

iifat в сообщении #1031608 писал(а):

Не подскажете, где б про это почитать?

Здесь:

karandash_oleg в сообщении #1031578 писал(а):

в книжке проводились какие-то манипуляции с этой матрицей перехода

-- Сб июн 27, 2015 21:44:15 --

karandash_oleg в сообщении #1031599 писал(а):

А о чем тогда говорил iffat здесь ?

Понятия не имею: ссылка ж удалена.

[karandash_oleg]

Да простит меня товарищ админ, если не выложу ссылку, то предмет обсуждения потеряет смысл ссылка удалена

[AlexDem]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1031608 писал(а):

Хм. Гугл вот так запросто не даёт ответа, а заводит в какие-то страшные места. Не подскажете, где б про это почитать?

Нигде. О загадочных целях - так вообще...

[arseniiv]

(Векторы меня пугают.)

karandash_oleg
Незачем писать \vec{e_1} $\vec{e_1}$ и \vec{e'_1} $\vec{e'_1}$ — выглядит это довольно непривычно против \vec e_1 $\vec e_1$ и \vec e'_1 $\vec e'_1$. В последнем случае, как и видно по коду, \vec применяется только к e, что выражается в том, что центр стрелочки находится над центром $e$, и они максимально близки по вертикали (в случае со штрихом есть разница). Случайный дополнительный плюс в том, что не надо писать один символ (были две скобки, стал один пробел).

Это просто совет, можно не комментировать (некоторые зачем-то начинают извиняться ).