2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 14:19 


04/06/13
203
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей!

Дана функция $f:M_2\to \mathbb{R}^2$

$f\begin{pmatrix}
 a&  b \\
 c&  d \\ 
\end{pmatrix}=(2a-b,3c+d)$

1) Найти матрицу отображения $f$

2) $\operatorname{Ker}(f)$

3) $\operatorname{Im}(f)$

У меня сразу возникает такая мысль. Чтобы получить столбец $2\times 1$ из матрицы $2\times 2$, нужно справа умножить матрицу $2\times 2$ на столбец $2\times 1$

То есть матрица отображения $\begin{pmatrix}
 x \\
 y \\ 
\end{pmatrix}$

$$\begin{pmatrix}
 a&  b \\
 c&  d \\ 
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
 x \\
 y \\ 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 2a-b \\
 3c+d\\ 
\end{pmatrix}$$

Но из этого следует, что с одной стороны $x=2, y=-1$, с другой стороны $x=3, y=1$, то есть противоречие какое-то имеем. Значит матрицы отображения нет? Или как это можно понимать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Да, матрицы отображения в таком виде, в каком Вы её ищете - нет.

-- менее минуты назад --

А вообще - есть. Но для этого надо исходник записать в виде:
$f\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d \\ \end{pmatrix}=(2a-b,3c+d)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 14:33 


04/06/13
203
ИСН в сообщении #1031192 писал(а):
Да, матрицы отображения в таком виде, в каком Вы её ищете - нет.

-- менее минуты назад --

А вообще - есть. Но для этого надо исходник записать в виде:
$f\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d \\ \end{pmatrix}=(2a-b,3c+d)$


Спасибо! Но тогда это не отображение $f:M_2\to \mathbb{R}^2$ будет.

То есть в исходной постановке задачи матрицы отображения не существует, но при этом само отображение есть или же если матрицы нет, то и отображения нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 14:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Эта задача решается сразу после выучивания ОПРЕДЕЛЕНИЙ! Определения учить не пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 14:53 


04/06/13
203
Brukvalub в сообщении #1031200 писал(а):
Эта задача решается сразу после выучивания ОПРЕДЕЛЕНИЙ! Определения учить не пробовали?

Пробовал, не помогло, размерности не сходятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 15:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
karandash_oleg в сообщении #1031196 писал(а):
Спасибо! Но тогда это не отображение $f:M_2\to \mathbb{R}^2$ будет.

Решительно будет. Если отождествить $M_2$ и $\mathbb R^4$. И, кстати, с негодованием отвергнуть нелепое обозначение $M_2$, заменив его на общечеловечное $\mathbb R^{2,2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 15:15 


04/06/13
203
А какая размерность у матрицы отображения? $2\times 4$ ? А зачем тогда в условии задачи квадратна я матрица 2х2?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
karandash_oleg в сообщении #1031217 писал(а):
А зачем тогда в условии задачи квадратна я матрица 2х2?

Чтобы Вы запутались. И эта цель достигнута.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 15:50 


04/06/13
203
Как так? Точто ли условие корректно?

-- 26.06.2015, 15:51 --

Точно *

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 15:53 


07/04/15
244
karandash_oleg
Базис $M_2(\mathbb{R})$ это $E_{ij}$
$f(E_{11})=(2,0)$, $f(E_{12})=(-1,0)$, $f(E_{21})=(0,6)$, $f(E_{22})=(0,1)$
Тогда по определению, можно выписать матрицу отображения. Какое оно кстати? Вы наверное запутались, потому что привыкли к отображениям в себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 16:15 


04/06/13
203
Спасибо!!! A $E_{11}=\begin{pmatrix}
 1&  0 \\
 0&  0 \\ 
\end{pmatrix}$??

-- 26.06.2015, 16:17 --

2old в сообщении #1031243 писал(а):
karandash_oleg
Базис $M_2(\mathbb{R})$ это $E_{ij}$
$f(E_{11})=(2,0)$, $f(E_{12})=(-1,0)$, $f(E_{21})=(0,6)$, $f(E_{22})=(0,1)$
Тогда по определению, можно выписать матрицу отображения. Какое оно кстати? Вы наверное запутались, потому что привыкли к отображениям в себя.

Пока что не могу понять какого размера матрица отображения такого, что Вы написали

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 17:13 


07/04/15
244
karandash_oleg
да. Теперь все на что вы будете воздействовать этим оператором, должно быть записано как вектор в этом базисе, какой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение26.06.2015, 21:53 


04/06/13
203
2old в сообщении #1031243 писал(а):
karandash_oleg
Базис $M_2(\mathbb{R})$ это $E_{ij}$
$f(E_{11})=(2,0)$, $f(E_{12})=(-1,0)$, $f(E_{21})=(0,6)$, $f(E_{22})=(0,1)$
Тогда по определению, можно выписать матрицу отображения. Какое оно кстати? Вы наверное запутались, потому что привыкли к отображениям в себя.

Ой как я жестко туплю, матрица отображения:

$\begin{pmatrix}
 2&-1  &0&0 \\
 0&0  &6 &1\\
  \end{pmatrix}$

Теперь все стало на свои места с матрицей отображения.

Ядро теперь можно искать как решение системы уравнений такой?

$\begin{pmatrix}
 2&-1  &0&0 \\
 0&0  &6 &1\\
  \end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
 a \\
 b\\
c\\
d\\
  \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
0\\
0\\
  \end{pmatrix}$

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение27.06.2015, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
ewert в сообщении #1031209 писал(а):
общечеловечное $\mathbb R^{2,2}$.

Это, простите, четырёхмерное псевдоевклидовое пространство нулевой сигнатуры?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения матриц, ядро, образ.
Сообщение27.06.2015, 11:10 


04/06/13
203
ewert в сообщении #1031209 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1031196 писал(а):
Спасибо! Но тогда это не отображение $f:M_2\to \mathbb{R}^2$ будет.

Решительно будет. Если отождествить $M_2$ и $\mathbb R^4$. И, кстати, с негодованием отвергнуть нелепое обозначение $M_2$, заменив его на общечеловечное $\mathbb R^{2,2}$.

А как их отождествить? С матрицей отображения я уже понял, что она $4\times 2$, то есть, чтобы сходились размерности, матрица вытягивается "в столбец"?

-- 27.06.2015, 11:20 --

А, кажется понял (может и неправильно). Ядро ищется из тех соображений, что

$f\begin{pmatrix}
 a&  b \\
 c&  d \\ 
\end{pmatrix}=(0,0)$

То есть в нашем случае это будет система:

$2a-b=0, 3c+d=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group