Отображения матриц, ядро, образ.

[karandash_oleg]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей!

Дана функция $f:M_2\to \mathbb{R}^2$

$f\begin{pmatrix} a& b \\ c& d \\ \end{pmatrix}=(2a-b,3c+d)$

1) Найти матрицу отображения $f$

2) $\operatorname{Ker}(f)$

3) $\operatorname{Im}(f)$

У меня сразу возникает такая мысль. Чтобы получить столбец $2\times 1$ из матрицы $2\times 2$, нужно справа умножить матрицу $2\times 2$ на столбец $2\times 1$

То есть матрица отображения $\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}$

$$\begin{pmatrix} a& b \\ c& d \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2a-b \\ 3c+d\\ \end{pmatrix}$$

Но из этого следует, что с одной стороны $x=2, y=-1$, с другой стороны $x=3, y=1$, то есть противоречие какое-то имеем. Значит матрицы отображения нет? Или как это можно понимать?

[ИСН]

Да, матрицы отображения в таком виде, в каком Вы её ищете - нет.

-- менее минуты назад --

А вообще - есть. Но для этого надо исходник записать в виде:
$f\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d \\ \end{pmatrix}=(2a-b,3c+d)$

[karandash_oleg]

ИСН в сообщении #1031192 писал(а):

Да, матрицы отображения в таком виде, в каком Вы её ищете - нет.

-- менее минуты назад --

А вообще - есть. Но для этого надо исходник записать в виде:
$f\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d \\ \end{pmatrix}=(2a-b,3c+d)$

Спасибо! Но тогда это не отображение $f:M_2\to \mathbb{R}^2$ будет.

То есть в исходной постановке задачи матрицы отображения не существует, но при этом само отображение есть или же если матрицы нет, то и отображения нет?

[Brukvalub]

Эта задача решается сразу после выучивания ОПРЕДЕЛЕНИЙ! Определения учить не пробовали?

[karandash_oleg]

Brukvalub в сообщении #1031200 писал(а):

Эта задача решается сразу после выучивания ОПРЕДЕЛЕНИЙ! Определения учить не пробовали?

Пробовал, не помогло, размерности не сходятся.

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1031196 писал(а):

Спасибо! Но тогда это не отображение $f:M_2\to \mathbb{R}^2$ будет.

Решительно будет. Если отождествить $M_2$ и $\mathbb R^4$. И, кстати, с негодованием отвергнуть нелепое обозначение $M_2$, заменив его на общечеловечное $\mathbb R^{2,2}$.

[karandash_oleg]

А какая размерность у матрицы отображения? $2\times 4$ ? А зачем тогда в условии задачи квадратна я матрица 2х2?

[ИСН]

karandash_oleg в сообщении #1031217 писал(а):

А зачем тогда в условии задачи квадратна я матрица 2х2?

Чтобы Вы запутались. И эта цель достигнута.

[karandash_oleg]

Как так? Точто ли условие корректно?

-- 26.06.2015, 15:51 --

Точно *

[2old]

karandash_oleg
Базис $M_2(\mathbb{R})$ это $E_{ij}$
$f(E_{11})=(2,0)$, $f(E_{12})=(-1,0)$, $f(E_{21})=(0,6)$, $f(E_{22})=(0,1)$
Тогда по определению, можно выписать матрицу отображения. Какое оно кстати? Вы наверное запутались, потому что привыкли к отображениям в себя.

[karandash_oleg]

Спасибо!!! A $E_{11}=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& 0 \\ \end{pmatrix}$??

-- 26.06.2015, 16:17 --

2old в сообщении #1031243 писал(а):

karandash_oleg
Базис $M_2(\mathbb{R})$ это $E_{ij}$
$f(E_{11})=(2,0)$, $f(E_{12})=(-1,0)$, $f(E_{21})=(0,6)$, $f(E_{22})=(0,1)$
Тогда по определению, можно выписать матрицу отображения. Какое оно кстати? Вы наверное запутались, потому что привыкли к отображениям в себя.

Пока что не могу понять какого размера матрица отображения такого, что Вы написали

[2old]

karandash_oleg
да. Теперь все на что вы будете воздействовать этим оператором, должно быть записано как вектор в этом базисе, какой?

[karandash_oleg]

2old в сообщении #1031243 писал(а):

karandash_oleg
Базис $M_2(\mathbb{R})$ это $E_{ij}$
$f(E_{11})=(2,0)$, $f(E_{12})=(-1,0)$, $f(E_{21})=(0,6)$, $f(E_{22})=(0,1)$
Тогда по определению, можно выписать матрицу отображения. Какое оно кстати? Вы наверное запутались, потому что привыкли к отображениям в себя.

Ой как я жестко туплю, матрица отображения:

$\begin{pmatrix} 2&-1 &0&0 \\ 0&0 &6 &1\\ \end{pmatrix}$

Теперь все стало на свои места с матрицей отображения.

Ядро теперь можно искать как решение системы уравнений такой?

$\begin{pmatrix} 2&-1 &0&0 \\ 0&0 &6 &1\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a \\ b\\ c\\ d\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}$

Правильно?

[Утундрий]

ewert в сообщении #1031209 писал(а):

общечеловечное $\mathbb R^{2,2}$.

Это, простите, четырёхмерное псевдоевклидовое пространство нулевой сигнатуры?

[karandash_oleg]

ewert в сообщении #1031209 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1031196 писал(а):

Спасибо! Но тогда это не отображение $f:M_2\to \mathbb{R}^2$ будет.

Решительно будет. Если отождествить $M_2$ и $\mathbb R^4$. И, кстати, с негодованием отвергнуть нелепое обозначение $M_2$, заменив его на общечеловечное $\mathbb R^{2,2}$.

А как их отождествить? С матрицей отображения я уже понял, что она $4\times 2$, то есть, чтобы сходились размерности, матрица вытягивается "в столбец"?

-- 27.06.2015, 11:20 --

А, кажется понял (может и неправильно). Ядро ищется из тех соображений, что

$f\begin{pmatrix} a& b \\ c& d \\ \end{pmatrix}=(0,0)$

То есть в нашем случае это будет система:

$2a-b=0, 3c+d=0$