Нужна кривая для аппроксимации

[Sphinx Pinastri]

Какое семейство кривых может подойти для аппоксимации экспериментальных данных со следующими свойствами в интервале $[0,1]$:
$f(0)=0$,
$f(1)=1$,
$f(x) \geqslant x$,
$f'(x)\geqslant 0$,
$f''(x)\leqslant 0$,
$f(x)\approx kx при x < x_0$

Иначе говоря, кривая сначала растет линейно, а потом рост замедляется.

[Александрович]

$f(x)=1-\exp(-kx)$

$f(x)=\sin(kx)$

[Sphinx Pinastri]

Александрович, у этих кривых маловато параметров для подбора.

[Александрович]

Sphinx Pinastri в сообщении #1031462 писал(а):

...у этих кривых маловато параметров для подбора.

Где в условии оговаривается необходимое количество параметров? Впрочем дурное дело, не хитрое.

[torn]

Полиномы могут подойти, например: $f(x)=-(x-1)^2+1$. Можно использовать полиномы и третей и четвертой и больших степеней. Коэффициенты перед каждым иксом наставить по вкусу.
Если данные не абстрактные, а взялись из какого-то реально проведенного эксперимента и между $f(x)$ и $x$ существует не только корреляция, но и причинная связь, то надо отталкиваться от физической сущности процесса. Например: $x$ - время, $f(x)$ - температура тела, то логично искать $f(x)$ как экспоненту, если это колебательное звено, то $f(x)=f(\sin(x);\cos(x))$, ну или $f(x)=f(\sin(x);\cos(x);e^x)$ и т.д.

[arseniiv]

(Оффтоп)

torn в сообщении #1031493 писал(а):

$f(x)=f(\sin(x);\cos(x))$

Тут справа лучше было бы, по-моему, написать $g$ или, скажем, $f_1$. Или всё-таки словами описать, какие термы от $\sin x,\cos x$ допустимы. А то, если правая функция любая, это просто условие $2\pi$-периодичности $f$ левой.

[dsge]

Можно попробовать экспоненциальные сплайны, с их помощью можно избежать некоторые нежелательные свойства кубических сплайнов (отрицательность, немонотонность, стремление к бесконечности и т.п.)

[Hasek]

Аппроксимируете интерполяционным многочленом Ньютона и потом применяете реккурентное сгущение сеток по Ричардсону. И с кривой можно не заморачиваться.

[B@R5uk]

А сами данные есть? Или надо придумать универсальную аппроксимацию на все случае жизни?

[mserg]

Описание функции сильно напоминает кусочек сигмоиды
На вскидку, есть два параметра на регулирование (остальные потратятся на краевые условия).

[Korvin]

Функция артангенса (фрагмент правой ветви) бы подошла.
Но ведь $k \geqslant 1$? Еще одно дополнительное условие?

[B@R5uk]

На мой взгляд, когда модели нет, то лучше полиномов ничего не будет. Наложить граничные условия и аппроксимировать. Если данные адекватны модели, то результат будет удовлетворять ограничениям. Если монотонности не будет, значит надо делать вывод, что данные кривые и не удовлетворяют модели. Тут главное, чтобы данных было много больше, чем коэффициентов полинома.