Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности

[hotrat]

Есть задача Коши:
$\begin{cases} &\text{$u_{t}(x,t)=u_{xx}(x,t)+\sin(x),\quad t>0,\quad 0<x<1$;}\\ &\text{$u(x, 0) = x^3+\cos(x)$;}\\ &\text{$u(0, t) =A\quad u(1, t) =B\quad A,B - \operatorname{const}$.} \end{cases}$

Хотим найти $\lim\limits_{t \to \infty}u(t,x)$

В случае однородного уравнения теплопроводности это не составляет труда, а что делать в моем случае? Как рассуждать? Где можно об этом почитать?

[Oleg Zubelevich]

сперва надо сделать однородными (нулевыми) гран условия. Кандадатом на роль указанного предела является ноль правой части соответствующего уравнения с однородными гран условиями. т.е. решение уравнения Пуассона. по ходу надо еще понять в каком смысле понимать этот предел

-- Пт июн 26, 2015 14:22:02 --

я бы сперва попробовал разложить все по собственным функциям оператора Лапласа и посмотреть на повеение решений соответствующих обыкновенных ДУ при $t\to\infty$ . Если там окажется все слишком громоздко, попробовал бы доказать, что пределом является то что сказано с помощью интегральных оценок

[hotrat]

Oleg Zubelevich в сообщении #1031190 писал(а):

по ходу надо еще понять в каком смысле понимать этот предел

-- Пт июн 26, 2015 14:22:02 --

Я так понимаю, что это описание изменения распределения тепла в однородном стержне с течением времени при заданных начальных условиях и еще каким-то источником тепла, раз у нас уравнение неоднородное.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1031190 писал(а):

оператора Лапласа

Его тут (грубо говоря) нет, а остальное правильно. Но не всё нужно.

hotrat в сообщении #1031188 писал(а):

Как рассуждать?

При стабилизации левая часть уходит в ноль -- и, соответственно, остаётся просто краевая задача для обыкновенного дифуравнения. Можно даже не пересчитывать неоднородные граничные условия на однородные (если, конечно, факт стабилизации считается известным, а не требует доказательства по правилам игры).

-- Пт июн 26, 2015 15:42:27 --

Да, и ещё полезно понимать, что конкретно здесь начальное условие никакого значения не имеет.

[hotrat]

ewert в сообщении #1031199 писал(а):

и, соответственно, остаётся просто краевая задача для обыкновенного дифуравнения.

В таком случае:
$u_x=\cos x+C_1$
$u=\sin x +C_1x+C_2$
$\left. u\right|_{x=0}=C_2=A$
$\left. u\right|_{x=1}=\sin 1+C_1=B$
$C_1=B-\sin 1$
Получили решение краевой задачи:
$u=\sin x+(\sin 1+B)x+A$
который и будет являться интересующим нас пределом, верно?

[ewert]

ну что-то типа (в детали вникать лень, но логика правильная).

[hotrat]

ewert в сообщении #1031213 писал(а):

ну что-то типа

Спасибо!

[Oleg Zubelevich]

на вашем месте ,я бы всетаки подумал, о том, что это за предел. пределы, знаете ли разные бывают, равномерные, поточеные, слабые сильные...

-- Пт июн 26, 2015 15:41:19 --

строгую формулировку теоремы, которую вы использовали, тоже Асилить бы не мешало

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1031230 писал(а):

пределы, знаете ли разные бывают, равномерные, поточеные, слабые сильные...

Сороканожка тоже думала, в каких пределах её ножки следует передвигать...

[Oleg Zubelevich]

на самом деле достаточно убедиться, что решение однородного уравнения теплопроводности с нулевыми гранусловиями стремится к нулю

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1031270 писал(а):

достаточно убедиться, что решение однородного уравнения теплопроводности с нулевыми гранусловиями стремится к нулю

к моменту этой задачки -- все сороканожки уже давно должны быть в этом убеждены

(я в курсе, что в словаре "сороконожки", но не в курсе, зачем так безграмотно)

-- Пт июн 26, 2015 18:42:28 --

(Оффтоп)

А, только сейчас догадался: потому, что это не от числительного "сорок", а от существительного "сорок"