2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 14:13 
Есть задача Коши:
$\begin{cases}
&\text{$u_{t}(x,t)=u_{xx}(x,t)+\sin(x),\quad t>0,\quad 0<x<1$;}\\
&\text{$u(x, 0) = x^3+\cos(x)$;}\\
&\text{$u(0, t) =A\quad u(1, t) =B\quad A,B - \operatorname{const}$.}
\end{cases}$

Хотим найти $\lim\limits_{t \to \infty}u(t,x)$

В случае однородного уравнения теплопроводности это не составляет труда, а что делать в моем случае? Как рассуждать? Где можно об этом почитать?

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 14:18 
сперва надо сделать однородными (нулевыми) гран условия. Кандадатом на роль указанного предела является ноль правой части соответствующего уравнения с однородными гран условиями. т.е. решение уравнения Пуассона. по ходу надо еще понять в каком смысле понимать этот предел

-- Пт июн 26, 2015 14:22:02 --

я бы сперва попробовал разложить все по собственным функциям оператора Лапласа и посмотреть на повеение решений соответствующих обыкновенных ДУ при $t\to\infty$ . Если там окажется все слишком громоздко, попробовал бы доказать, что пределом является то что сказано с помощью интегральных оценок

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 14:31 
Oleg Zubelevich в сообщении #1031190 писал(а):
по ходу надо еще понять в каком смысле понимать этот предел

-- Пт июн 26, 2015 14:22:02 --



Я так понимаю, что это описание изменения распределения тепла в однородном стержне с течением времени при заданных начальных условиях и еще каким-то источником тепла, раз у нас уравнение неоднородное.

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 14:37 
Oleg Zubelevich в сообщении #1031190 писал(а):
оператора Лапласа

Его тут (грубо говоря) нет, а остальное правильно. Но не всё нужно.

hotrat в сообщении #1031188 писал(а):
Как рассуждать?

При стабилизации левая часть уходит в ноль -- и, соответственно, остаётся просто краевая задача для обыкновенного дифуравнения. Можно даже не пересчитывать неоднородные граничные условия на однородные (если, конечно, факт стабилизации считается известным, а не требует доказательства по правилам игры).

-- Пт июн 26, 2015 15:42:27 --

Да, и ещё полезно понимать, что конкретно здесь начальное условие никакого значения не имеет.

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 15:09 
ewert в сообщении #1031199 писал(а):
и, соответственно, остаётся просто краевая задача для обыкновенного дифуравнения.


В таком случае:
$u_x=\cos x+C_1$
$u=\sin x +C_1x+C_2$
$\left. u\right|_{x=0}=C_2=A$
$\left. u\right|_{x=1}=\sin 1+C_1=B$
$C_1=B-\sin 1$
Получили решение краевой задачи:
$u=\sin x+(\sin 1+B)x+A$
который и будет являться интересующим нас пределом, верно?

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 15:12 
ну что-то типа (в детали вникать лень, но логика правильная).

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 15:14 
ewert в сообщении #1031213 писал(а):
ну что-то типа

Спасибо!

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 15:40 
на вашем месте ,я бы всетаки подумал, о том, что это за предел. пределы, знаете ли разные бывают, равномерные, поточеные, слабые сильные...

-- Пт июн 26, 2015 15:41:19 --

строгую формулировку теоремы, которую вы использовали, тоже Асилить бы не мешало

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 15:51 

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1031230 писал(а):
пределы, знаете ли разные бывают, равномерные, поточеные, слабые сильные...

Сороканожка тоже думала, в каких пределах её ножки следует передвигать...

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 16:58 
на самом деле достаточно убедиться, что решение однородного уравнения теплопроводности с нулевыми гранусловиями стремится к нулю

 
 
 
 Re: Найти предел решения неоднородного уравнения теплопровдности
Сообщение26.06.2015, 17:39 

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1031270 писал(а):
достаточно убедиться, что решение однородного уравнения теплопроводности с нулевыми гранусловиями стремится к нулю

к моменту этой задачки -- все сороканожки уже давно должны быть в этом убеждены

(я в курсе, что в словаре "сороконожки", но не в курсе, зачем так безграмотно)


-- Пт июн 26, 2015 18:42:28 --

(Оффтоп)

А, только сейчас догадался: потому, что это не от числительного "сорок", а от существительного "сорок"

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group