линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа

[IHmG]

Дана задача

Цитата:

Какие из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами. Для линейных операторов найти ядро и образ
$(x_1,x_2,x_3) \mapsto (x_2+x_3, 2x_1+x_3, 3x_1-x_2+x_3)$

Правильно ли я понимаю условие? Оператор показывает отображение одного вектора в другой вектор (или отображение одного пространства в другое пространство). $x_i$ - здесь это компоненты вектора.

В книге "Задачник по линейной алгебре" ХД Икрамов я нашел определение

Цитата:

Пусть $X$, $Y$ - линейные пространства. Линейным оператором $A$ из $X$ в $Y$ называется соответствие между элементами этих пространств, которое всякому вектору $x\inX$ ставит в соответствие вполне определенный вектор $y\inY$, называемый образом вектора $x$ и обозначаемый $Ax$, причем $A(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha A x_1+\beta A x_2$ для любых векторов $x_1$ и $x_2$ и любых чисел $\alpha$ и $\beta$

Множество всех векторов $Ax, x \in X$ называется областью значений или образом оператора $A$ и обозначается $T_A$. Множество всех векторов $x$, для которых $Ax=0$, называется ядром оператора A и обозначается $N_A$.

В книге "Курс высшей алгебры" А.Г. Курош я нашел несколько другое определение

Цитата:

Пусть дано n-мерное действительное линейное пространство, которое обозначим через $V_n$. Рассмотрим преобразование этого пространства, т.е. отображение, переводящее каждый вектор $a$ пространства $V_n$ в некоторый вектор $a'$ этого же пространства. Вектор $a'$ называется образом вектора $a$ при рассматриваемом преобразовании.

Если преобразование обозначено через $\varphi$, то образ вектора $a$ условимся записывать не через $\varphi(\alpha)$, а через $a\varphi$

таким образом $a'=a\varphi$

Преобразование $\varphi$ линейного пространства $V_n$ называется линейным преобразованием этого пространства, если сумму любых двух векторов $a$, $b$ оно переводит в сумму образов этих векторов
$(a+b)\varphi = a\varphi+b\varphi$

а произведение любого вектора $a$ на любое число $\alpha$ переводит в произведение образа вектора $a$ на это же число $\alpha$

$(\alpha a)\varphi=\alpha(a \varphi)$

Вопрос 1
Понятия линейное преобразование равно понятию линейного оператора?

Если я правильно понимаю из условия задачи очевидно необходимое условие того, что отображение является линейным оператором, так как исходный вектор, заданный компонентами отображается в какой-то другой вектор, компоненты которого составлены как линейная комбинация компонентов исходного вектора. Причем как исходный вектор, так и образ исходного вектора принадлежат пространству $R^3$ Любопытно, линейный оператор обязательно сохраняет "n-мерность" ...

Теперь нужно доказать, что оператор линейный. Т.е. что выполняются два условия из второго определения или одно условие из первого определения... и это как раз и есть условие линейности. Как это записать?

Допустим

вектор $a = (1,1,1)$, $вектор b = (2,2,2)$, $\alpha=2$
$(1,1,1) \mapsto (2,3,3)$
$(2,2,2) \mapsto (4,6,6)$

$(a+b)\varphi = (6,9,9) = a\varphi+b\varphi$
$(\alpha a)\varphi=(4,6,6)=2(2,3,3)=\alpha(a\varphi)$

вроде на конкретных примерах выполняется... но это же каряво и недостаточно

пока пойду Куроша дальше "курить" ... но без того чтобы сюда не отписаться - это просто глупо было бы с моей стороны... для очников наверное все это "элементарно Ватсон" ... а для меня как иностранный язык... интересный, но пока еще не родной

вопросы пометил смайликами, вроде в LaTeX всё набрал :)

[Lia]

IHmG в сообщении #1031183 писал(а):

вроде в LaTeX всё набрал :)

Не, маленько забыли.

IHmG в сообщении #1031183 писал(а):

вектор $a$ = (1,1,1), вектор b = (2,2,2), $\alpha=2$
(1,1,1) $\mapsto$ (2,3,3)
(2,2,2) $\mapsto$ (4,6,6)

[IHmG]

спасибо, исправил :)

-- 26.06.2015, 18:47 --

Нашел еще интересное утверждение у Куроша

Цитата:

При любом линейном преобразовании $\varphi$ линейного пространства $V_n$ нулевой вектор 0 остаётся неподвижным
$0 \varphi = 0$,

действительно $(0,0,0) \mapsto (0,0,0)$

Цитата:

а образом вектора, противоположного для данного вектора $a$, служит вектор, противоположный для образа вектора $a$

действительно $(-x_1,-x_2,-x_3) \mapsto (-x_2-x_3, -2x_1-x_3,-3x_1+x_2-x_3)$

[iifat]

Ну, обратите внимание, первое определение определяет отображение одного линейного пространства в другое, а Курош — отображение линейного пространства в себя (не в себя, Куроша, а в себя, то же самое пространство). Ну, дальше, почему б вам не попробовать доказать эквивалентность этих определений (за исключением первого различия)?

IHmG в сообщении #1031183 писал(а):

вроде на конкретных примерах выполняется... но это же каряво и недостаточно

Ну, а теперь допустим, что первый вектор $(x_1,x_2,x_3)$, а второй $(y_1,y_2,y_3)$

[IHmG]

iifat в сообщении #1031208 писал(а):

Ну, а теперь допустим, что первый вектор $(x_1,x_2,x_3)$, а второй $(y_1,y_2,y_3)$

хм... интересно

наверное тогда можно записать

$$ \begin{cases} y_1=x_1\\ y_2=x_1+2x_2\\ y_3=x_2+3x_3 \end{cases} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 |y_1\\ 1 & 2 & 0 |y_2\\ 1 & 0 & 3 |y_3 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1&0&0|{y_1}\\ 0&2&0|{y_2-y_1}\\ 0&0&3|{y_3-y_1} \end{pmatrix} $$

$y_3-y_1=3 \Leftrightarrow y_3-1=3 \Leftrightarrow y_3=4$
$y_2-y_1=2 \Leftrightarrow y_2-1=2 \Leftrightarrow y_2=3$
$y_1=1$

только это что-то даёт?

$(1,3,4)$

[svv]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1031208 писал(а):

(не в себя, Куроша

Ну, если сам Курош является конечномерным линейным пространством, то можно и в себя родимого отобразить.

[iifat]

IHmG в сообщении #1031263 писал(а):

наверное тогда можно записать

Вы что там, извиняюсь, кубики кидаете? И случайные результаты сюда пишете?

IHmG в сообщении #1031183 писал(а):

вектор $a = (1,1,1)$, $вектор b = (2,2,2)$,

Вот тут возьмите мои вектора и повторите свои рассуждения. Те рассуждения, откуда я процитировал, а не те, что выпадут вам при очередном случайном бросании вашего кубика.

[ewert]

iifat в сообщении #1031208 писал(а):

Ну, дальше, почему б вам не попробовать доказать эквивалентность этих определений (за исключением первого различия)?

Не совсем: Икрамов формально не требует конечномерности (хотя и наверняка подразумевает).

IHmG в сообщении #1031183 писал(а):

пока пойду Куроша дальше "курить"

Раз Вы заочник, то курите лучше кого-нибудь другого: у Куроша нестандартный порядок записи действия оператора, да и буквы нестандартные. Т.е. такое тоже встречается, но гораздо чаще используются обозначения, как у Икрамова.

IHmG в сообщении #1031183 писал(а):

Т.е. что выполняются два условия из второго определения или одно условие из первого определения..

Это одно и то же условие, только во втором случае оно разбито на два подусловия -- на аддитивность и однородность. Дело вкуса.

[IHmG]

Цитата:

Раз Вы заочник, то курите лучше кого-нибудь другого: у Куроша нестандартный порядок записи действия оператора, да и буквы нестандартные. Т.е. такое тоже встречается, но гораздо чаще используются обозначения, как у Икрамова.

посоветуйте что-нибудь для заочника пожалуйста :) Вроде как еще говорили про Кострикина... но вроде как там еще все сложнее для целей ликбеза ... может быть есть какие-то методички? у нас я ничего подходящего не нашел... а толстые книги читать просто ресурсов нет, хотя пока ничего другого не остается... ищу просто по оглавлению похожие слова и пытаюсь читать

[IHmG]

проверим, что данное отображение является линейным оператором. Возьмем 2 вектора $x$ с координатами $(x_1,x_2,x_3)$ и $y$ с координатами $(y_1,y_2,y_3)$ $A(\alpha x+ \beta y)$ должно быть равно $\alpha A x + \beta A y$, если $A$ - линейный оператор

вектор $\alpha x + \beta y = (\alpha x_1 + \beta y_1, \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha x_3 + \beta y_3)$

тогда

$$ A(\alpha x + \beta y)=( ((\alpha x_2 + \beta y_2)+ ( \alpha x_3 + \beta y_3)), (2(\alpha x_1 + \beta y_1)+(\alpha x_3 + \beta y_3)), (3(\alpha x_1 + \beta y_1)-(\alpha x_2 + \beta y_2)+(\alpha x_3 + \beta y_3)) ) = ( (\alpha(x_2+x_3)+\beta(y_2+y_3)), (\alpha(2x_1+x_3)+\beta(2y_1+y_3)), (\alpha(3x_1-x_2+x_3)+\beta(3y_1-y_2+y_3)) ) = \alpha A x + \beta A y $$

-- 02.07.2015, 21:58 --

ядро думаю можно найти, если приравнять координаты в образе к нуль-вектору и решить СЛАУ... тут получится ядром будет нуль-вектор... я прав? как искать образ? может быть также можно приравнять координаты образа... произвольным неизвестным и решать СЛАУ относительно $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ... ? понимаю, что опять кубик бросаю... но вроде как в этом какая-то логика есть или совсем нет?:)

[ewert]

IHmG в сообщении #1032949 писал(а):

посоветуйте что-нибудь для заочника пожалуйста :)

Ну у вас должна же быть какая-то рекомендованная литература, заочникам её рекомендуют в обязательном порядке. Навскидку могу порекомендовать лишь ориентироваться на некоторые фамилии. Скажем, Бугров-Никольский; ну или Ильин-Позняк. Последние, правда, несколько круче; но, во всяком случае, все они ориентированы не на махровых математиков.

[iifat]

IHmG в сообщении #1032982 писал(а):

тут получится ядром будет нуль-вектор

Похоже на то.

IHmG в сообщении #1032982 писал(а):

приравнять координаты образа... произвольным неизвестным и решать СЛАУ относительно $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$

Как вариант. В данном конкретном случае можно просто вспомнить, что сумма размерностей ядра и образа равна размерности пространства.

[IHmG]

ewert в сообщении #1032993 писал(а):

IHmG в сообщении #1032949 писал(а):

посоветуйте что-нибудь для заочника пожалуйста :)

Бугров-Никольский

там про линейные операторы есть? пока ищу... как найду вставлю ссылку в тему :)

[ewert]

Бугров Я.С., Никольский С.М. Т. 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

http://www.alleng.ru/d/math/math147.htm

Про линейные операторы там есть. (скан, правда, плохой)