Дана задача
Цитата:
Какие из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами. Для линейных операторов найти ядро и образ

Правильно ли я понимаю условие? Оператор показывает отображение одного вектора в другой вектор (или отображение одного пространства в другое пространство).

- здесь это компоненты вектора.
В книге "Задачник по линейной алгебре" ХД Икрамов я нашел определение
Цитата:
Пусть

,

- линейные пространства. Линейным оператором

из

в

называется соответствие между элементами этих пространств, которое всякому вектору

ставит в соответствие вполне определенный вектор

, называемый образом вектора

и обозначаемый

, причем

для любых векторов

и

и любых чисел

и

Множество всех векторов

называется областью значений или образом оператора

и обозначается

. Множество всех векторов

, для которых

, называется ядром оператора A и обозначается

.
В книге "Курс высшей алгебры" А.Г. Курош я нашел несколько другое определение
Цитата:
Пусть дано n-мерное действительное линейное пространство, которое обозначим через

. Рассмотрим преобразование этого пространства, т.е. отображение, переводящее каждый вектор

пространства

в некоторый вектор

этого же пространства. Вектор

называется образом вектора

при рассматриваемом преобразовании.
Если преобразование обозначено через

, то образ вектора

условимся записывать не через

, а через

таким образом

Преобразование

линейного пространства

называется линейным преобразованием этого пространства, если сумму любых двух векторов

,

оно переводит в сумму образов этих векторов

а произведение любого вектора

на любое число

переводит в произведение образа вектора

на это же число


Вопрос 1
Понятия линейное преобразование равно понятию линейного оператора?
Если я правильно понимаю из условия задачи очевидно необходимое условие того, что отображение является линейным оператором, так как исходный вектор, заданный компонентами отображается в какой-то другой вектор, компоненты которого составлены как линейная комбинация компонентов исходного вектора. Причем как исходный вектор, так и образ исходного вектора принадлежат пространству

Любопытно, линейный оператор обязательно сохраняет "n-мерность" ...

Теперь нужно доказать, что оператор линейный. Т.е. что выполняются два условия из второго определения или одно условие из первого определения... и это как раз и есть условие линейности. Как это записать?
Допустим
вектор

,

,





вроде на конкретных примерах выполняется... но это же каряво и недостаточно
пока пойду Куроша дальше "курить" ... но без того чтобы сюда не отписаться - это просто глупо было бы с моей стороны... для очников наверное все это "элементарно Ватсон" ... а для меня как иностранный язык... интересный, но пока еще не родной

вопросы пометил смайликами, вроде в LaTeX всё набрал :)