2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение26.06.2015, 14:03 


29/05/15
100
Дана задача

Цитата:
Какие из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами. Для линейных операторов найти ядро и образ
$(x_1,x_2,x_3) \mapsto (x_2+x_3, 2x_1+x_3, 3x_1-x_2+x_3)$


Правильно ли я понимаю условие? Оператор показывает отображение одного вектора в другой вектор (или отображение одного пространства в другое пространство). $x_i$ - здесь это компоненты вектора.

В книге "Задачник по линейной алгебре" ХД Икрамов я нашел определение

Цитата:
Пусть $X$, $Y$ - линейные пространства. Линейным оператором $A$ из $X$ в $Y$ называется соответствие между элементами этих пространств, которое всякому вектору $x\inX$ ставит в соответствие вполне определенный вектор $y\inY$, называемый образом вектора $x$ и обозначаемый $Ax$, причем $A(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha A x_1+\beta A x_2$ для любых векторов $x_1$ и $x_2$ и любых чисел $\alpha$ и $\beta$

Множество всех векторов $Ax, x \in X$ называется областью значений или образом оператора $A$ и обозначается $T_A$. Множество всех векторов $x$, для которых $Ax=0$, называется ядром оператора A и обозначается $N_A$.


В книге "Курс высшей алгебры" А.Г. Курош я нашел несколько другое определение
Цитата:
Пусть дано n-мерное действительное линейное пространство, которое обозначим через $V_n$. Рассмотрим преобразование этого пространства, т.е. отображение, переводящее каждый вектор $a$ пространства $V_n$ в некоторый вектор $a'$ этого же пространства. Вектор $a'$ называется образом вектора $a$ при рассматриваемом преобразовании.

Если преобразование обозначено через $\varphi$, то образ вектора $a$ условимся записывать не через $\varphi(\alpha)$, а через $a\varphi$

таким образом $a'=a\varphi$

Преобразование $\varphi$ линейного пространства $V_n$ называется линейным преобразованием этого пространства, если сумму любых двух векторов $a$, $b$ оно переводит в сумму образов этих векторов
$(a+b)\varphi = a\varphi+b\varphi$

а произведение любого вектора $a$ на любое число $\alpha$ переводит в произведение образа вектора $a$ на это же число $\alpha$

$(\alpha a)\varphi=\alpha(a \varphi)$


Вопрос 1 :?:
Понятия линейное преобразование равно понятию линейного оператора?

Если я правильно понимаю из условия задачи очевидно необходимое условие того, что отображение является линейным оператором, так как исходный вектор, заданный компонентами отображается в какой-то другой вектор, компоненты которого составлены как линейная комбинация компонентов исходного вектора. Причем как исходный вектор, так и образ исходного вектора принадлежат пространству $R^3$ Любопытно, линейный оператор обязательно сохраняет "n-мерность" ...

:?: Теперь нужно доказать, что оператор линейный. Т.е. что выполняются два условия из второго определения или одно условие из первого определения... и это как раз и есть условие линейности. Как это записать?

Допустим

вектор $a = (1,1,1)$, $вектор b = (2,2,2)$, $\alpha=2$
$(1,1,1) \mapsto (2,3,3)$
$(2,2,2) \mapsto (4,6,6)$

$(a+b)\varphi = (6,9,9) = a\varphi+b\varphi$
$(\alpha a)\varphi=(4,6,6)=2(2,3,3)=\alpha(a\varphi)$

вроде на конкретных примерах выполняется... но это же каряво и недостаточно

пока пойду Куроша дальше "курить" ... но без того чтобы сюда не отписаться - это просто глупо было бы с моей стороны... для очников наверное все это "элементарно Ватсон" ... а для меня как иностранный язык... интересный, но пока еще не родной :-D

вопросы пометил смайликами, вроде в LaTeX всё набрал :)

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение26.06.2015, 14:07 
Модератор


20/03/14
11514
IHmG в сообщении #1031183 писал(а):
вроде в LaTeX всё набрал :)
Не, маленько забыли.
IHmG в сообщении #1031183 писал(а):
вектор $a$ = (1,1,1), вектор b = (2,2,2), $\alpha=2$
(1,1,1) $\mapsto$ (2,3,3)
(2,2,2) $\mapsto$ (4,6,6)

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение26.06.2015, 14:30 


29/05/15
100
спасибо, исправил :)

-- 26.06.2015, 18:47 --

Нашел еще интересное утверждение у Куроша

Цитата:
При любом линейном преобразовании $\varphi$ линейного пространства $V_n$ нулевой вектор 0 остаётся неподвижным
$0 \varphi = 0$,



действительно $(0,0,0) \mapsto (0,0,0)$

Цитата:
а образом вектора, противоположного для данного вектора $a$, служит вектор, противоположный для образа вектора $a$


действительно $(-x_1,-x_2,-x_3) \mapsto (-x_2-x_3, -2x_1-x_3,-3x_1+x_2-x_3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение26.06.2015, 14:58 
Заслуженный участник


16/02/13
3900
Владивосток
Ну, обратите внимание, первое определение определяет отображение одного линейного пространства в другое, а Курош — отображение линейного пространства в себя (не в себя, Куроша, а в себя, то же самое пространство). Ну, дальше, почему б вам не попробовать доказать эквивалентность этих определений (за исключением первого различия)?
IHmG в сообщении #1031183 писал(а):
вроде на конкретных примерах выполняется... но это же каряво и недостаточно
Ну, а теперь допустим, что первый вектор $(x_1,x_2,x_3)$, а второй $(y_1,y_2,y_3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение26.06.2015, 16:40 


29/05/15
100
iifat в сообщении #1031208 писал(а):
Ну, а теперь допустим, что первый вектор $(x_1,x_2,x_3)$, а второй $(y_1,y_2,y_3)$


хм... интересно

наверное тогда можно записать

$$
\begin{cases}
y_1=x_1\\
y_2=x_1+2x_2\\
y_3=x_2+3x_3
\end{cases}
$$

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 |y_1\\
1 & 2 & 0 |y_2\\
1 & 0 & 3 |y_3
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
1&0&0|{y_1}\\
0&2&0|{y_2-y_1}\\
0&0&3|{y_3-y_1}
\end{pmatrix}
$$

$y_3-y_1=3 \Leftrightarrow y_3-1=3 \Leftrightarrow  y_3=4$
$y_2-y_1=2 \Leftrightarrow y_2-1=2 \Leftrightarrow  y_2=3$
$y_1=1$

только это что-то даёт?

$(1,3,4)$

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение26.06.2015, 17:02 
Заслуженный участник


23/07/08
9150
Харьков

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1031208 писал(а):
(не в себя, Куроша
Ну, если сам Курош является конечномерным линейным пространством, то можно и в себя родимого отобразить.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение26.06.2015, 17:25 
Заслуженный участник


16/02/13
3900
Владивосток
IHmG в сообщении #1031263 писал(а):
наверное тогда можно записать
Вы что там, извиняюсь, кубики кидаете? И случайные результаты сюда пишете?
IHmG в сообщении #1031183 писал(а):
вектор $a = (1,1,1)$, $вектор b = (2,2,2)$,
Вот тут возьмите мои вектора и повторите свои рассуждения. Те рассуждения, откуда я процитировал, а не те, что выпадут вам при очередном случайном бросании вашего кубика.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение27.06.2015, 16:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
iifat в сообщении #1031208 писал(а):
Ну, дальше, почему б вам не попробовать доказать эквивалентность этих определений (за исключением первого различия)?

Не совсем: Икрамов формально не требует конечномерности (хотя и наверняка подразумевает).

IHmG в сообщении #1031183 писал(а):
пока пойду Куроша дальше "курить"

Раз Вы заочник, то курите лучше кого-нибудь другого: у Куроша нестандартный порядок записи действия оператора, да и буквы нестандартные. Т.е. такое тоже встречается, но гораздо чаще используются обозначения, как у Икрамова.

IHmG в сообщении #1031183 писал(а):
Т.е. что выполняются два условия из второго определения или одно условие из первого определения..

Это одно и то же условие, только во втором случае оно разбито на два подусловия -- на аддитивность и однородность. Дело вкуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение02.07.2015, 15:25 


29/05/15
100
Цитата:

Раз Вы заочник, то курите лучше кого-нибудь другого: у Куроша нестандартный порядок записи действия оператора, да и буквы нестандартные. Т.е. такое тоже встречается, но гораздо чаще используются обозначения, как у Икрамова.


посоветуйте что-нибудь для заочника пожалуйста :) Вроде как еще говорили про Кострикина... но вроде как там еще все сложнее для целей ликбеза ... может быть есть какие-то методички? у нас я ничего подходящего не нашел... а толстые книги читать просто ресурсов нет, хотя пока ничего другого не остается... ищу просто по оглавлению похожие слова и пытаюсь читать

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение02.07.2015, 17:45 


29/05/15
100
проверим, что данное отображение является линейным оператором. Возьмем 2 вектора $x$ с координатами $(x_1,x_2,x_3)$ и $y$ с координатами $(y_1,y_2,y_3)$ $A(\alpha x+ \beta y)$ должно быть равно $\alpha A x + \beta A y$, если $A$ - линейный оператор

вектор $\alpha x + \beta y = (\alpha x_1 + \beta y_1, \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha x_3 + \beta y_3)$

тогда

$$
A(\alpha x + \beta y)=(

((\alpha x_2 + \beta y_2)+ ( \alpha x_3 + \beta y_3)),

(2(\alpha x_1 + \beta y_1)+(\alpha x_3 + \beta y_3)),

(3(\alpha x_1 + \beta y_1)-(\alpha x_2 + \beta y_2)+(\alpha x_3 + \beta y_3))


)

=

(
(\alpha(x_2+x_3)+\beta(y_2+y_3)),
(\alpha(2x_1+x_3)+\beta(2y_1+y_3)),
(\alpha(3x_1-x_2+x_3)+\beta(3y_1-y_2+y_3))
)

=

\alpha A x + \beta A y


$$

-- 02.07.2015, 21:58 --

ядро думаю можно найти, если приравнять координаты в образе к нуль-вектору и решить СЛАУ... тут получится ядром будет нуль-вектор... я прав? как искать образ? может быть также можно приравнять координаты образа... произвольным неизвестным и решать СЛАУ относительно $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ... ? понимаю, что опять кубик бросаю... но вроде как в этом какая-то логика есть или совсем нет?:)

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение02.07.2015, 19:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
IHmG в сообщении #1032949 писал(а):
посоветуйте что-нибудь для заочника пожалуйста :)

Ну у вас должна же быть какая-то рекомендованная литература, заочникам её рекомендуют в обязательном порядке. Навскидку могу порекомендовать лишь ориентироваться на некоторые фамилии. Скажем, Бугров-Никольский; ну или Ильин-Позняк. Последние, правда, несколько круче; но, во всяком случае, все они ориентированы не на махровых математиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение03.07.2015, 02:48 
Заслуженный участник


16/02/13
3900
Владивосток
IHmG в сообщении #1032982 писал(а):
тут получится ядром будет нуль-вектор
Похоже на то.
IHmG в сообщении #1032982 писал(а):
приравнять координаты образа... произвольным неизвестным и решать СЛАУ относительно $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
Как вариант. В данном конкретном случае можно просто вспомнить, что сумма размерностей ядра и образа равна размерности пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение03.07.2015, 05:47 


29/05/15
100
ewert в сообщении #1032993 писал(а):
IHmG в сообщении #1032949 писал(а):
посоветуйте что-нибудь для заочника пожалуйста :)

Бугров-Никольский

там про линейные операторы есть? пока ищу... как найду вставлю ссылку в тему :)

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная алгебра, понятия линейного оператора, ядра и образа
Сообщение03.07.2015, 11:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Бугров Я.С., Никольский С.М. Т. 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

http://www.alleng.ru/d/math/math147.htm

Про линейные операторы там есть. (скан, правда, плохой)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group