2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос про решение кубических уравнений
Сообщение24.06.2015, 13:29 


24/03/09
460
Минск
Когда и кем конкретно было доказано , что кубическое уравнение, в общем случае, нельзя решить в радикалах, без комплексных чисел?? (чтобы не было отрицательных чисел под знаками извлечения корней). Сколько ни искал ответа на этот вопрос - нигде не нашел. "Доказано" и всё тут. Когда доказано? Кем доказано? Как теорема называется? :(
Может, кто нибудь подскажет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение24.06.2015, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Skipper в сообщении #1030354 писал(а):
Когда и кем конкретно было доказано , что кубическое уравнение, в общем случае, нельзя решить в радикалах, без комплексных чисел?? (чтобы не было отрицательных чисел под знаками извлечения корней)...
"Доказано" и всё тут.

Вы можете привести ссылку, где об этом так необоснованно говорят? Просто чтобы понимать, что Вы имеете в виду. И, заодно, прокомментируйте следующую аргументацию, если она Вас не устраивает:
В общем случае кубическое уравнение имеет 3 корня, 2 из которых могут (в общем случае) являться комплексными. Поэтому даже для записи корней уравнения в общем случае требуется так или иначе "использовать отрицательные числа под знаками извлечения корней".

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение24.06.2015, 14:55 


24/03/09
460
Минск
Цитата:
И, заодно, прокомментируйте следующую аргументацию, если она Вас не устраивает:
В общем случае кубическое уравнение имеет 3 корня, 2 из которых могут (в общем случае) являться комплексными. Поэтому даже для записи корней уравнения в общем случае требуется так или иначе "использовать отрицательные числа под знаками извлечения корней".


Кубическое уравнение, имеет:

1) либо один действительный корень, и два комплексных. В таком случае, мы получаем решение в радикалах для действительного корня , без использования комплексных чисел. Конечно же, комплексные корни мы не можем получить в таких радикалах, тут и доказывать ничего не надо. Имелось в виду, получение решения в радикалах без использования комплексных числе для ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корней.

2) либо кубическое уравнение имеет все три действительных корня. Уравнение для решения в радикалах содержит комплексные числа.
Кем доказано, что в этом случае нельзя решить уравнение в радикалах без использования комплексных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение24.06.2015, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Я бы назвал этот случай частным, а не общим. Но кажется я понял, что Вас интересует. Посмотрите по этой ссылке на утверждения и теоремы параграфа 1.2, то ли это, что Вам нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение24.06.2015, 16:03 


24/03/09
460
Минск
По вашей ссылке, теорема есть, доказательства нет.

Но кажется, я нашел всё таки доказательство этого (Ван дер Варден. "Алгебра").
http://mechmat.univ.kiev.ua/ua/study/li ... lgebra.pdf

Доказательство приводится на 221 странице. (Хотя я его еще не понял. доказательство короткое, но оперирует понятиями, которые нужно изучить).
И осталось узнать, кто же это впервые доказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение24.06.2015, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Skipper в сообщении #1030429 писал(а):
По вашей ссылке, теорема есть, доказательства нет.

Я знаю. Я пытался помочь хотя бы уверенным фактом и ключевыми словами (раз Ваши продолжительные поиски оставались безуспешными). Но я согласен с Вами -- на "спасибо" моя работа не тянет :D

Отпишитесь, пжл, когда изучите историю вопроса -- мне тоже будет любопытно глянуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение24.06.2015, 16:26 


24/03/09
460
Минск
Цитата:
Но кажется, я нашел всё таки доказательство этого (Ван дер Варден. "Алгебра").
http://mechmat.univ.kiev.ua/ua/study/li ... lgebra.pdf


История вопроса, пока остается туманной. Кто-то это впервые доказал, в книге Ван дер Вардена, про это не написано.
Не сам же Ван дер Варден это впервые доказал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про решение кубических уравнений
Сообщение24.06.2015, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Skipper в сообщении #1030444 писал(а):
История вопроса, пока остается туманной.

Ок, я тоже подключусь к поиску. Пока лишь замечу, что с этим утверждением Вы ошиблись:
Skipper в сообщении #1030429 писал(а):
По вашей ссылке, теорема есть, доказательства нет.

Доказательства там есть, в п.5.3. Разобраться в них потребует некоторых усилий, но решать Вам (не уверен, что к стилю / обозначениям Ван дер Вардена будет проще привыкать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про решение кубических уравнений
Сообщение24.06.2015, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321

(UPD)

Выводы непрофессионального исследования вопроса удалены в виду появившейся информации в следующем сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про решение кубических уравнений
Сообщение24.06.2015, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2598
Физтех
Skipper в сообщении #1030444 писал(а):
История вопроса, пока остается туманной. Кто-то это впервые доказал, в книге Ван дер Вардена, про это не написано.
Это проблема напрямую связана с задачей трисекции произвольного угла, которая впервые была решена Пьером Ванцелем в 1837 году:
http://math-doc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1837_1_2_A31_0.pdf
Он и доказал невозможность трисекции произвольного угла с помощью линейки и циркуля. Впрочем, тут удобно обращаться не к первоисточнику, а почитать Ван дер Вардена, например, у него про это подробно расписано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про решение кубических уравнений
Сообщение25.06.2015, 15:35 


24/03/09
460
Минск
Цитата:
Это проблема напрямую связана с задачей трисекции произвольного угла


А почему (каким образом) это связано с задачей трисекции угла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про решение кубических уравнений
Сообщение25.06.2015, 20:37 


07/04/15
244
Skipper
Формулу косинуса тройного угла знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про решение кубических уравнений
Сообщение25.06.2015, 21:14 


25/08/11

1074
Да и в том, что можно через комплексные числа, есть лукавство, на которое часто не обращают внимания. В записи фигурирует кубический корень из комплексного числа, но не существует способа, как извлечь его в виде комплексного числа в алгебраической форме, в отличие от квадратного корня. Так что если считать этот символ кубического корня из комплексного числа за ответ-то можно радоваться. Если задуматься-то большой вопрос, выражен ли такой ответ через комплексные числа на самом деле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про решение кубических уравнений
Сообщение25.06.2015, 21:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
sergei1961 в сообщении #1030984 писал(а):
Если задуматься-то большой вопрос, выражен ли такой ответ через комплексные числа на самом деле.

Если задуматься-то, то сразу же становится ясно, что не всё в этой жизни выражается через радикалы. Обидно, досадно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group