Вопрос про решение кубических уравнений

[Skipper]

Когда и кем конкретно было доказано , что кубическое уравнение, в общем случае, нельзя решить в радикалах, без комплексных чисел?? (чтобы не было отрицательных чисел под знаками извлечения корней). Сколько ни искал ответа на этот вопрос - нигде не нашел. "Доказано" и всё тут. Когда доказано? Кем доказано? Как теорема называется? :(
Может, кто нибудь подскажет?

[grizzly]

Skipper в сообщении #1030354 писал(а):

Когда и кем конкретно было доказано , что кубическое уравнение, в общем случае, нельзя решить в радикалах, без комплексных чисел?? (чтобы не было отрицательных чисел под знаками извлечения корней)...
"Доказано" и всё тут.

Вы можете привести ссылку, где об этом так необоснованно говорят? Просто чтобы понимать, что Вы имеете в виду. И, заодно, прокомментируйте следующую аргументацию, если она Вас не устраивает:
В общем случае кубическое уравнение имеет 3 корня, 2 из которых могут (в общем случае) являться комплексными. Поэтому даже для записи корней уравнения в общем случае требуется так или иначе "использовать отрицательные числа под знаками извлечения корней".

[Skipper]

Цитата:

И, заодно, прокомментируйте следующую аргументацию, если она Вас не устраивает:
В общем случае кубическое уравнение имеет 3 корня, 2 из которых могут (в общем случае) являться комплексными. Поэтому даже для записи корней уравнения в общем случае требуется так или иначе "использовать отрицательные числа под знаками извлечения корней".

Кубическое уравнение, имеет:

1) либо один действительный корень, и два комплексных. В таком случае, мы получаем решение в радикалах для действительного корня , без использования комплексных чисел. Конечно же, комплексные корни мы не можем получить в таких радикалах, тут и доказывать ничего не надо. Имелось в виду, получение решения в радикалах без использования комплексных числе для ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корней.

2) либо кубическое уравнение имеет все три действительных корня. Уравнение для решения в радикалах содержит комплексные числа.
Кем доказано, что в этом случае нельзя решить уравнение в радикалах без использования комплексных чисел?

[grizzly]

Я бы назвал этот случай частным, а не общим. Но кажется я понял, что Вас интересует. Посмотрите по этой ссылке на утверждения и теоремы параграфа 1.2, то ли это, что Вам нужно.

[Skipper]

По вашей ссылке, теорема есть, доказательства нет.

Но кажется, я нашел всё таки доказательство этого (Ван дер Варден. "Алгебра").
http://mechmat.univ.kiev.ua/ua/study/li ... lgebra.pdf

Доказательство приводится на 221 странице. (Хотя я его еще не понял. доказательство короткое, но оперирует понятиями, которые нужно изучить).
И осталось узнать, кто же это впервые доказал.

[grizzly]

Skipper в сообщении #1030429 писал(а):

По вашей ссылке, теорема есть, доказательства нет.

Я знаю. Я пытался помочь хотя бы уверенным фактом и ключевыми словами (раз Ваши продолжительные поиски оставались безуспешными). Но я согласен с Вами -- на "спасибо" моя работа не тянет

Отпишитесь, пжл, когда изучите историю вопроса -- мне тоже будет любопытно глянуть.

[Skipper]

Цитата:

Но кажется, я нашел всё таки доказательство этого (Ван дер Варден. "Алгебра").
http://mechmat.univ.kiev.ua/ua/study/li ... lgebra.pdf

История вопроса, пока остается туманной. Кто-то это впервые доказал, в книге Ван дер Вардена, про это не написано.
Не сам же Ван дер Варден это впервые доказал?

[grizzly]

Skipper в сообщении #1030444 писал(а):

История вопроса, пока остается туманной.

Ок, я тоже подключусь к поиску. Пока лишь замечу, что с этим утверждением Вы ошиблись:

Skipper в сообщении #1030429 писал(а):

По вашей ссылке, теорема есть, доказательства нет.

Доказательства там есть, в п.5.3. Разобраться в них потребует некоторых усилий, но решать Вам (не уверен, что к стилю / обозначениям Ван дер Вардена будет проще привыкать).

[grizzly]

(UPD)

Выводы непрофессионального исследования вопроса удалены в виду появившейся информации в следующем сообщении.

[ShMaxG]

Skipper в сообщении #1030444 писал(а):

История вопроса, пока остается туманной. Кто-то это впервые доказал, в книге Ван дер Вардена, про это не написано.

Это проблема напрямую связана с задачей трисекции произвольного угла, которая впервые была решена Пьером Ванцелем в 1837 году:
http://math-doc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1837_1_2_A31_0.pdf
Он и доказал невозможность трисекции произвольного угла с помощью линейки и циркуля. Впрочем, тут удобно обращаться не к первоисточнику, а почитать Ван дер Вардена, например, у него про это подробно расписано.

[Skipper]

Цитата:

Это проблема напрямую связана с задачей трисекции произвольного угла

А почему (каким образом) это связано с задачей трисекции угла?

[2old]

Skipper
Формулу косинуса тройного угла знаете?

[sergei1961]

Да и в том, что можно через комплексные числа, есть лукавство, на которое часто не обращают внимания. В записи фигурирует кубический корень из комплексного числа, но не существует способа, как извлечь его в виде комплексного числа в алгебраической форме, в отличие от квадратного корня. Так что если считать этот символ кубического корня из комплексного числа за ответ-то можно радоваться. Если задуматься-то большой вопрос, выражен ли такой ответ через комплексные числа на самом деле.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1030984 писал(а):

Если задуматься-то большой вопрос, выражен ли такой ответ через комплексные числа на самом деле.

Если задуматься-то, то сразу же становится ясно, что не всё в этой жизни выражается через радикалы. Обидно, досадно.