2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегральное уравнение
Сообщение24.06.2015, 14:37 
Аватара пользователя


10/03/11
210
Здравствуйте!
В процессе решения физ. проблемы столкнулся с интегральным уравнением следующего вида:
$$\int\limits_0^{+\infty} d\kappa\ \frac{e^{- \kappa H}\left(1 - e^{-\kappa D_f}\right)\left(1 + 2 \kappa \Lambda_P \right)}{\kappa\left( 1 + \dfrac{1}{2\kappa\Lambda_P}\right)} \operatorname{sech}\frac{\kappa\pi}{2}\cos \kappa x = C_0.$$
Здесь $H$, $D_f$, $D_s$, $\Lambda_P$, $C_0$ просто некие константы. Также $\kappa$ – волновое число, а $x$ – пространственная координата.

Собственно, надо из этого уравнения найти $x$. Если честно, я пока не представляю как решать такое уравнение. Может быть намекнёте или подскажете куда посмотреть. Мне не важно вот именно точное решение. Некоторым оценок/приближённого решения, я думаю, мне вполне хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение24.06.2015, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
Это не интегральное уравнение, а просто уравнение вида $f(x)=C_0$ где $f(x)$ левая часть

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение24.06.2015, 15:06 
Аватара пользователя


10/03/11
210
Red_Herring в сообщении #1030396 писал(а):
Это не интегральное уравнение, а просто уравнение вида $f(x)=C_0$ где $f(x)$ левая часть

Хорошо. Я ошибся. Это действительно так. Можете подсказать как с этим зверем работать? Хотя бы приближённо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение24.06.2015, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
Это Вам вычислители подскажут. Но "просто какие-то константы" их явно не устроят. Даже совсем очевидное ограничение: $H>\pi/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение24.06.2015, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #1030405 писал(а):
Можете подсказать как с этим зверем работать?

Сократить числитель со знаменателем и взять интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение24.06.2015, 16:29 
Аватара пользователя


10/03/11
210
Red_Herring, Численное решение, к сожалению, меня не интересует вообще. Меня интересует существенно аналитика. Но т.к. я понимаю, что точно в квадратурах это уравнение решить невозможно, то меня интересуют возможные хотя бы оценочные решения.

Amon, да, спасибо. Сейчас я пытаюсь всё по раскладывать в ряды, пока не особо обращая внимание на физ. смысл, чтобы получить хотя бы какие-нибудь решения.

-- Ср июн 24, 2015 16:32:43 --

Я был слепой. И я прозрел. Сокращается чуть больше, чем всё.

-- Ср июн 24, 2015 16:40:10 --

Но, правда , секансы с синусами всё равно остаются. Но вроде как на первый взгляд такие интегралы уже аналитически берущиеся.

-- Ср июн 24, 2015 17:27:25 --

amon в сообщении #1030446 писал(а):
Сократить числитель со знаменателем и взять интеграл.

Просто так всё равно не получается. После сокращения возникает, допустим, один из интегралов вида (постоянные коэффициенты опустил):
$$\int_0^{+\infty} dk\ e^{-k H}\operatorname{sech}{\frac{k\pi}{2}}\cos{kx}$$
Что-то как-то становится совсем грустно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение24.06.2015, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
r0ma в сообщении #1030447 писал(а):
совсем грустно.

Не совсем. Интеграл Ваш считается через дигамма функции, правда, от комплексного аргумента (по-моему). Так что при наличии желания можно двигаться дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение25.06.2015, 12:16 
Аватара пользователя


10/03/11
210
amon в сообщении #1030561 писал(а):
Не совсем. Интеграл Ваш считается через дигамма функции, правда, от комплексного аргумента (по-моему). Так что при наличии желания можно двигаться дальше.

Да, большое спасибо! Ваше упоминание про дигамму функцию по сути и помогло вычислить мне интеграл. Оказалось всё совсем просто. Первое, что я сделал для упрощение — я положил $H = 0$ (по физ. причинам я могу такое сделать), и предположил, что $kD_f \ll 1$ (такое, в общем-то тоже, я думаю, возможно, хотя тут думать надо). В итоге выразилось всё через тригамма функции с мнимым аргументом. Изначальное уравнение переписалось в таком виде

$$\psi^1 \left(\frac14 -i\frac{x}{2\pi}\right) + \psi^1 \left(\frac14 + i\frac{x}{2\pi}\right) - \psi^1 \left(\frac34 -i\frac{x}{2\pi}\right) - \psi^1 \left(\frac34 +i\frac{x}{2\pi}\right) = - \frac{2\pi^2}{D_f\Lambda_P} C_0.$$

Конечно, к ответу это меня приблизило не сильно, т.к. аргумент $x$, который мне надо найти выражен неявно через спецфункцию, и в этом смысле, на руках у меня всё равно нет корней этого уравнения. Быть может тригамма можно как-то в ряд разложить, я пока не знаю как. Надо дальше думать.

Да, кстати, сейчас я подумал, что те предположения в самом начале можно было и не делать, а вычислять в самом общем виде, просто, видимо, решил перестраховаться. Ну да ладно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение25.06.2015, 15:08 
Аватара пользователя


10/03/11
210
Возник ещё такой интеграл из подобной серии:

$$\int\limits_0^{+ \infty}\left(k + \frac{1}{2\Lambda_P}\right)^{-1}\frac{e^{-k(\pi/2 + H - ix)}}{1 - e^{-2\pi k}} dk$$

Но вот он уже к полигамма функциям не сводится, как я понимаю. И его, видимо, можно только численно брать?

-- Чт июн 25, 2015 15:14:23 --

Хотя если разложить в ряд:
$$\left( k + \frac{1}{2\Lambda_P}\right)\approx \frac{1}{2\Lambda_P}(1 - 2\Lambda_P k),$$
при условии, что $2\Lambda_P k\ll 1$, то полигаммы возникнут снова, хотя это опять не особо что даёт. Вообще, всё это похоже на высасывание из пальца. Хрень какая-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение25.06.2015, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
r0ma в сообщении #1030808 писал(а):
$$\int\limits_0^{+ \infty}\left(k + \frac{1}{2\Lambda_P}\right)^{-1}\frac{e^{-k(\pi/2 + H - ix)}}{1 - e^{-2\pi k}} dk$$
Это плохой интеграл. Он логарифмически расходится в нуле.
Что касается пси-функций, то они ни чуть не хуже (и не лучше) синусов. Про них все известно, аналитического выражения Вы скорее всего не получите, но оценки находятся относительно просто. Бейтмен и Эрдейи Вам в помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение
Сообщение25.06.2015, 17:34 
Аватара пользователя


10/03/11
210
amon в сообщении #1030909 писал(а):
r0ma в сообщении #1030808 писал(а):
$$\int\limits_0^{+ \infty}\left(k + \frac{1}{2\Lambda_P}\right)^{-1}\frac{e^{-k(\pi/2 + H - ix)}}{1 - e^{-2\pi k}} dk$$
Это плохой интеграл. Он логарифмически расходится в нуле.
Что касается пси-функций, то они ни чуть не хуже (и не лучше) синусов. Про них все известно, аналитического выражения Вы скорее всего не получите, но оценки находятся относительно просто. Бейтмен и Эрдейи Вам в помощь!

Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group