Интегральное уравнение

[r0ma]

Здравствуйте!
В процессе решения физ. проблемы столкнулся с интегральным уравнением следующего вида:

$$\int\limits_0^{+\infty} d\kappa\ \frac{e^{- \kappa H}\left(1 - e^{-\kappa D_f}\right)\left(1 + 2 \kappa \Lambda_P \right)}{\kappa\left( 1 + \dfrac{1}{2\kappa\Lambda_P}\right)} \operatorname{sech}\frac{\kappa\pi}{2}\cos \kappa x = C_0.$$

Здесь $H$, $D_f$, $D_s$, $\Lambda_P$, $C_0$ просто некие константы. Также $\kappa$ – волновое число, а $x$ – пространственная координата.

Собственно, надо из этого уравнения найти $x$. Если честно, я пока не представляю как решать такое уравнение. Может быть намекнёте или подскажете куда посмотреть. Мне не важно вот именно точное решение. Некоторым оценок/приближённого решения, я думаю, мне вполне хватит.

[Red_Herring]

Это не интегральное уравнение, а просто уравнение вида $f(x)=C_0$ где $f(x)$ левая часть

[r0ma]

Red_Herring в сообщении #1030396 писал(а):

Это не интегральное уравнение, а просто уравнение вида $f(x)=C_0$ где $f(x)$ левая часть

Хорошо. Я ошибся. Это действительно так. Можете подсказать как с этим зверем работать? Хотя бы приближённо.

[Red_Herring]

Это Вам вычислители подскажут. Но "просто какие-то константы" их явно не устроят. Даже совсем очевидное ограничение: $H>\pi/2$

[amon]

Red_Herring в сообщении #1030405 писал(а):

Можете подсказать как с этим зверем работать?

Сократить числитель со знаменателем и взять интеграл.

[r0ma]

Red_Herring, Численное решение, к сожалению, меня не интересует вообще. Меня интересует существенно аналитика. Но т.к. я понимаю, что точно в квадратурах это уравнение решить невозможно, то меня интересуют возможные хотя бы оценочные решения.

Amon, да, спасибо. Сейчас я пытаюсь всё по раскладывать в ряды, пока не особо обращая внимание на физ. смысл, чтобы получить хотя бы какие-нибудь решения.

-- Ср июн 24, 2015 16:32:43 --

Я был слепой. И я прозрел. Сокращается чуть больше, чем всё.

-- Ср июн 24, 2015 16:40:10 --

Но, правда , секансы с синусами всё равно остаются. Но вроде как на первый взгляд такие интегралы уже аналитически берущиеся.

-- Ср июн 24, 2015 17:27:25 --

amon в сообщении #1030446 писал(а):

Сократить числитель со знаменателем и взять интеграл.

Просто так всё равно не получается. После сокращения возникает, допустим, один из интегралов вида (постоянные коэффициенты опустил):

$$\int_0^{+\infty} dk\ e^{-k H}\operatorname{sech}{\frac{k\pi}{2}}\cos{kx}$$

Что-то как-то становится совсем грустно.

[amon]

r0ma в сообщении #1030447 писал(а):

совсем грустно.

Не совсем. Интеграл Ваш считается через дигамма функции, правда, от комплексного аргумента (по-моему). Так что при наличии желания можно двигаться дальше.

[r0ma]

amon в сообщении #1030561 писал(а):

Не совсем. Интеграл Ваш считается через дигамма функции, правда, от комплексного аргумента (по-моему). Так что при наличии желания можно двигаться дальше.

Да, большое спасибо! Ваше упоминание про дигамму функцию по сути и помогло вычислить мне интеграл. Оказалось всё совсем просто. Первое, что я сделал для упрощение — я положил $H = 0$ (по физ. причинам я могу такое сделать), и предположил, что $kD_f \ll 1$ (такое, в общем-то тоже, я думаю, возможно, хотя тут думать надо). В итоге выразилось всё через тригамма функции с мнимым аргументом. Изначальное уравнение переписалось в таком виде

$$\psi^1 \left(\frac14 -i\frac{x}{2\pi}\right) + \psi^1 \left(\frac14 + i\frac{x}{2\pi}\right) - \psi^1 \left(\frac34 -i\frac{x}{2\pi}\right) - \psi^1 \left(\frac34 +i\frac{x}{2\pi}\right) = - \frac{2\pi^2}{D_f\Lambda_P} C_0.$$

Конечно, к ответу это меня приблизило не сильно, т.к. аргумент $x$, который мне надо найти выражен неявно через спецфункцию, и в этом смысле, на руках у меня всё равно нет корней этого уравнения. Быть может тригамма можно как-то в ряд разложить, я пока не знаю как. Надо дальше думать.

Да, кстати, сейчас я подумал, что те предположения в самом начале можно было и не делать, а вычислять в самом общем виде, просто, видимо, решил перестраховаться. Ну да ладно.

[r0ma]

Возник ещё такой интеграл из подобной серии:

$$\int\limits_0^{+ \infty}\left(k + \frac{1}{2\Lambda_P}\right)^{-1}\frac{e^{-k(\pi/2 + H - ix)}}{1 - e^{-2\pi k}} dk$$

Но вот он уже к полигамма функциям не сводится, как я понимаю. И его, видимо, можно только численно брать?

-- Чт июн 25, 2015 15:14:23 --

Хотя если разложить в ряд:

$$\left( k + \frac{1}{2\Lambda_P}\right)\approx \frac{1}{2\Lambda_P}(1 - 2\Lambda_P k),$$

при условии, что $2\Lambda_P k\ll 1$, то полигаммы возникнут снова, хотя это опять не особо что даёт. Вообще, всё это похоже на высасывание из пальца. Хрень какая-то.

[amon]

r0ma в сообщении #1030808 писал(а):

$$\int\limits_0^{+ \infty}\left(k + \frac{1}{2\Lambda_P}\right)^{-1}\frac{e^{-k(\pi/2 + H - ix)}}{1 - e^{-2\pi k}} dk$$

Это плохой интеграл. Он логарифмически расходится в нуле.
Что касается пси-функций, то они ни чуть не хуже (и не лучше) синусов. Про них все известно, аналитического выражения Вы скорее всего не получите, но оценки находятся относительно просто. Бейтмен и Эрдейи Вам в помощь!

[r0ma]

amon в сообщении #1030909 писал(а):

r0ma в сообщении #1030808 писал(а):

$$\int\limits_0^{+ \infty}\left(k + \frac{1}{2\Lambda_P}\right)^{-1}\frac{e^{-k(\pi/2 + H - ix)}}{1 - e^{-2\pi k}} dk$$

Это плохой интеграл. Он логарифмически расходится в нуле.
Что касается пси-функций, то они ни чуть не хуже (и не лучше) синусов. Про них все известно, аналитического выражения Вы скорее всего не получите, но оценки находятся относительно просто. Бейтмен и Эрдейи Вам в помощь!

Большое спасибо!