kerz-3-06 писал(а):
а из каких соображений мы делаем такой вывод?
Например, из таких. Пусть

- неприводимый многочлен степени

над конечным полем

, для определённости унитарный (старший коэффициент равен 1). Путём присоединения
любого корня многочлена

к полю

получается
одно и то же поле

(присоединение происходит в некотором фиксированном алгебраическом замыкании поля

; в случае произвольных полей при присоединении различных корней получаются, вообще говоря, различные (но изоморфные) поля). То есть в отличие от случая произвольных полей, где присоединение одного корня многочлена позволяет "отщепить", вообще говоря, только один линейный множитель, в случае конечного поля сразу получается полная факторизация (более того, над полем

будет выполнено

, где

- любой корень

). Впрочем, в нашем случае степень многочлена равна 2, поэтому можно обойтись и более простыми соображениями.