Нашлась такая вот задача: имеется симметричная монетка; сколько в среднем раз её нужно подбросить, чтобы решка выпала два раза подряд?
Я рассуждаю так. Во-первых, мы имеем дело с бесконечной последовательностью испытаний с вероятностью "успеха"

. Под успехом я понимаю выпадение решки. Верно ли я понимаю, что нас интересует математическое ожидание от случайной величины

, ставящей в соответствие последовательности

наименьшее такое

, что

и в последовательности

нет двух подряд идущих единиц?
Если так, то
![$$\mathbb{E}[\xi]=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot \mathbb{P}(\xi=k),$$ $$\mathbb{E}[\xi]=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot \mathbb{P}(\xi=k),$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/f/5afb1a917bec7a8d6a37b7f33c76e5fe82.png)
и нам только остаётся найти

, ну и сумму ряда, видимо. Нетрудно доказать индукцией, что число последовательностей длины

, у которых первая пара

стоит на месте

(в самом конце), равно числу Фибоначчи

. Это означает, что

откуда
![$$\mathbb{E}[\xi]=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\frac{f_k}{2^{k+1}}.$$ $$\mathbb{E}[\xi]=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\frac{f_k}{2^{k+1}}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/0/a70ff288c68d04026158f46d58737e4782.png)
Верно ли я интерпретирую условие задачи? Если так, то можно ли сказать что-нибудь вразумительное про сумму этого ряда? (похоже, что он расходится, не так ли?)
Честно говоря, это моё решение мне не нравится. Как бы подправить модель, чтобы не было никаких оговорок? А то тут случайная величина определена не во всякой точке (не определена в точке

, к примеру). Или ничего страшного?