Группа полиномов над конечным полем

[phoboslol]

Привет!

Помогите пожалуйста, может будут какие-нибудь идеи.
Суть:

Есть конечное поле $\mathbb{F}_p$ ($p$ — простое, да). Теперь рассмотрим следующее множество при фиксированном $n \in \mathbb{N}$: $K = \left \lbrace a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n\ \vert\ a_i \in \mathbb{F}_p \right \rbrace $.
Теперь введем операцию на множестве следующим образом: рассмотрим два многочлена $P$ и $Q$ из $K$, то есть их степень не превышает $n$; рассмотрим $P \circ Q$ по модулю $x^{n+1}$, то есть все степени выше $n$ уйдут.
Например: $P = x^2,\ Q = x^2+1,\ n = 3$. Тогда $P \cdot Q = 2x^2 + 1$.

Нетрудно доказывается, что построенная конструкция есть группа.
Вопрос следующий: как искать нормальные подгруппы в $K$?

[ИСН]

Единичный элемент вижу, а вот кто будет обратным к $x^2$, например?

[Xaositect]

phoboslol в сообщении #1029797 писал(а):

Нетрудно доказывается, что построенная конструкция есть группа.

Нет же. Единичный элемент у нас, очевидно, $x$. Возьмем $p = 3$, $n = 2$. Многочлен $P(x) = x + x^2$ необратим слева, потому как $P(0) = P(2) \Rightarrow QP(0) = QP(2)$.

[phoboslol]

Xaositect в сообщении #1029803 писал(а):

phoboslol в сообщении #1029797 писал(а):

Нетрудно доказывается, что построенная конструкция есть группа.

Нет же. Единичный элемент у нас, очевидно, $x$. Возьмем $p = 3$, $n = 2$. Многочлен $P(x) = x + x^2$ необратим слева, потому как $P(0) = P(2) \Rightarrow QP(0) = QP(2)$.

Прошу прощения, опечатался в постановке, забыл коэффициент при $x$. Собственно, так всё работает.

[Xaositect]

phoboslol в сообщении #1029812 писал(а):

Прошу прощения, опечатался в постановке, забыл коэффициент при $x$. Собственно, так всё работает.

В чем разница? Все равно, если значения склеились, обратить это уже не получится.

[phoboslol]

Xaositect в сообщении #1029829 писал(а):

phoboslol в сообщении #1029812 писал(а):

Прошу прощения, опечатался в постановке, забыл коэффициент при $x$. Собственно, так всё работает.

В чем разница? Все равно, если значения склеились, обратить это уже не получится.

Понял, чего не понимал раньше сам. Коэффициент при $x$ действительно единица. Суть в другом, а именно: $x^k == 0 (mod\ x^n)$ где $k > n$. То есть для $P(x) = x + x^2$ легко находится обратный, а именно $P^{-1}(x) = x + 2x^2$. Нетрудно провести подсчет и получить единицу группы.

Вопрос про нормальные подгруппы всё еще открыт.

[Xaositect]

Упс, сорри. Действительно, контрпример неправильный.

-- Пн июн 22, 2015 22:43:18 --

Все-таки коэффициент при $x$ должен быть ненулевым, иначе у ИСН правильный контрпример. Если так, то да, получается группа.

-- Пн июн 22, 2015 22:47:01 --

Как минимум, сразу видно, что если мы обрежем старшие степени, то получится гомоморфизм в такую же группу, но с меньшим $n$.

[phoboslol]

Есть также мнение, что при $n = 2,\ 3$ группа будет абелевой. При больших — нет. Может быть в силу вышесказанного нормальные подгруппы в $K$ для больших $n$ будут только группы со степенями полиномов $2$ и $3$.