2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Группа полиномов над конечным полем
Сообщение22.06.2015, 21:36 


11/11/14
14
Привет!

Помогите пожалуйста, может будут какие-нибудь идеи.
Суть:

Есть конечное поле $\mathbb{F}_p$ ($p$ — простое, да). Теперь рассмотрим следующее множество при фиксированном $n \in \mathbb{N}$: $K = \left \lbrace a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n\ \vert\ a_i \in \mathbb{F}_p \right \rbrace $.
Теперь введем операцию на множестве следующим образом: рассмотрим два многочлена $P$ и $Q$ из $K$, то есть их степень не превышает $n$; рассмотрим $P \circ Q$ по модулю $x^{n+1}$, то есть все степени выше $n$ уйдут.
Например: $P = x^2,\ Q = x^2+1,\ n = 3$. Тогда $P \cdot Q = 2x^2 + 1$.

Нетрудно доказывается, что построенная конструкция есть группа.
Вопрос следующий: как искать нормальные подгруппы в $K$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа полиномов над конечным полем
Сообщение22.06.2015, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Единичный элемент вижу, а вот кто будет обратным к $x^2$, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа полиномов над конечным полем
Сообщение22.06.2015, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
phoboslol в сообщении #1029797 писал(а):
Нетрудно доказывается, что построенная конструкция есть группа.
Нет же. Единичный элемент у нас, очевидно, $x$. Возьмем $p = 3$, $n = 2$. Многочлен $P(x) = x + x^2$ необратим слева, потому как $P(0) = P(2) \Rightarrow QP(0) = QP(2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа полиномов над конечным полем
Сообщение22.06.2015, 22:19 


11/11/14
14
Xaositect в сообщении #1029803 писал(а):
phoboslol в сообщении #1029797 писал(а):
Нетрудно доказывается, что построенная конструкция есть группа.
Нет же. Единичный элемент у нас, очевидно, $x$. Возьмем $p = 3$, $n = 2$. Многочлен $P(x) = x + x^2$ необратим слева, потому как $P(0) = P(2) \Rightarrow QP(0) = QP(2)$.


Прошу прощения, опечатался в постановке, забыл коэффициент при $x$. Собственно, так всё работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа полиномов над конечным полем
Сообщение22.06.2015, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
phoboslol в сообщении #1029812 писал(а):
Прошу прощения, опечатался в постановке, забыл коэффициент при $x$. Собственно, так всё работает.
В чем разница? Все равно, если значения склеились, обратить это уже не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа полиномов над конечным полем
Сообщение22.06.2015, 23:17 


11/11/14
14
Xaositect в сообщении #1029829 писал(а):
phoboslol в сообщении #1029812 писал(а):
Прошу прощения, опечатался в постановке, забыл коэффициент при $x$. Собственно, так всё работает.
В чем разница? Все равно, если значения склеились, обратить это уже не получится.

Понял, чего не понимал раньше сам. Коэффициент при $x$ действительно единица. Суть в другом, а именно: $x^k == 0 (mod\ x^n)$ где $k > n$. То есть для $P(x) = x + x^2$ легко находится обратный, а именно $P^{-1}(x) = x + 2x^2$. Нетрудно провести подсчет и получить единицу группы.

Вопрос про нормальные подгруппы всё еще открыт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа полиномов над конечным полем
Сообщение22.06.2015, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Упс, сорри. Действительно, контрпример неправильный.

-- Пн июн 22, 2015 22:43:18 --

Все-таки коэффициент при $x$ должен быть ненулевым, иначе у ИСН правильный контрпример. Если так, то да, получается группа.

-- Пн июн 22, 2015 22:47:01 --

Как минимум, сразу видно, что если мы обрежем старшие степени, то получится гомоморфизм в такую же группу, но с меньшим $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа полиномов над конечным полем
Сообщение23.06.2015, 00:54 


11/11/14
14
Есть также мнение, что при $n = 2,\ 3$ группа будет абелевой. При больших — нет. Может быть в силу вышесказанного нормальные подгруппы в $K$ для больших $n$ будут только группы со степенями полиномов $2$ и $3$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group