Вероятностная оценка распределения простых чисел

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #913394 писал(а):

Анализ вероятностной модели 1

Рассмотренную в начале темы вероятностную модель назовем вероятностной моделью 1.

В данной модели шар, после того, как его выбрали, снова возвращается в корзину.

Поэтому в этой модели существует вероятность выбрать один и тот же шар несколько раз.

В реальной ситуации, когда подсчитывается количество членов, принадлежащих последовательности на интервале натурального ряда от 1 до $x$, такой ситуации не бывает.

Поэтому требуется уточнение вероятностной модели 1.

В противовес первой вероятностной модели рассмотрим вероятностную модель выбора шара без возврата. При выборе шара без возврата мы получаем вместо биномиального - гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим урну, содержащую $M$ различных шаров. Из них $M_1$ имеют белый цвет и $M_2$ имеют черный цвет $(M_1+M_2=M)$.
Предположим, что из этой урны выбирают $n$ шаров $n<M$ без возрата, тогда вероятность события, состоящего в том, что будут выбраны $n_1$ белых шаров и $n_2$ черных шаров $n_1+n_2=n$ равна:
$P(B_{n_1,n_2})=C_{M_1}^{n_1} \cdot C_{M_2}^{n_2}/C_{M}^{n}$.

Можно показать (см. Ширяев "Вероятность" стр. 32), что при $M$ стремящемся к бесконечности и $M_1$ стремящемся к бесконечности, в случае если предел $M_1/M$ стремится к вероятности $p$ и следовательно предел $M_2/M$ стремится к $1-p$, то $P(B_{n_1,n_2})$ стремится к $C_{n_1+n_2}^{n_1}p^{n_1}(1-p)^{n_2}$.
Таким образом, при данных предположениях гипергеометрическое распределение стремится к биномиальному, т.е. при больших $M,M_1$ конечный выбор без возврата должен давать почти такой же результат, что и выбор с возвратом.

Вернемся к нашей вероятностной модели. Возьмем первые $M$ натуральных чисел. Пусть в этих натуральных числах $M_1$ простых чисел. Тогда при $M$ стремящемся к бесконечности $M_1$ также стремится к бесконечности. При этом предел отношения $M_1/M$ равен $p=Li(M)/M$ - вероятности наугад выбранного натурального числа, не превышающего значение $M$ быть простым.
Таким образом, соблюдаются все указанные условия, поэтому ошибка в первой вероятностной модели (с возвратом) стремится к 0 при $M$ стремящемся к бесконечности, а при больших $M$ первая вероятностная модель дает почти такой же результат, что и рассмотренная вероятностная модель без возврата, которая не имеет указанного недостатка первой вероятностной модели.

-- 05.05.2015, 15:42 --

grizzly в сообщении #1011452 писал(а):

vicvolf
надо полагать, погорячились -- вторая гипотеза пока ещё не опровергнута.

Да, она просто противоречит первой, а так как первая не доказана, то вторая не опровергнута.

[vicvolf]

Уточнение

Вернемся к нашей вероятностной модели. Возьмем первые $M$ натуральных чисел. Пусть в этих натуральных числах $M_1$ простых чисел. Тогда при $M$ стремящемся к бесконечности $M_1$ также стремится к бесконечности. При больших значениях $M$ отношение $M_1/M$ равно $p=Li(M)/M$ - вероятности наугад выбранного натурального числа, не превышающего значение $M$ быть простым.
Таким образом, на основании сказанного выше, при больших $M$ первая вероятностная модель дает почти такой же результат, что и рассмотренная вероятностная модель без возврата, которая не имеет указанного недостатка первой вероятностной модели.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1009501 писал(а):

Идею вероятностных методов хорошо объяснил Крамер: "В рассуждениях, связанных с асимптотическими свойствами арифметических функций, часто возможно следующее интересное применение вероятностных рассуждений. Если, например, мы интересуемся распределением данной последовательности $S$ целых чисел, то рассматриваем $S$ как элемент бесконечного класса $C$ последовательностей, которые можно конкретно интерпретировать как возможные реализации некоторой игры случая. Тогда во многих случаях можно доказать, что с вероятностью равной 1, некоторое соотношение $R$ выполняется в $C$, или в точном математическом смысле "почти все" последовательности из $C$ удолетворяют $R$. Конечно, мы не можем, вообще говоря, заключить, что $R$ выполняется для каждой последовательности $S$, но результаты предсказанные этим методом, иногда могут быть строго доказаны другими методами."

Именно так надо интерпретировать полученные мною результаты в отношении количества членов в подпоследовательности натурального ряда, которая является арифметической функцией.

Продолжу в этом же смысле.

Как было показано в первой вероятностной модели плотность вероятности распределения случайной величины $x_1$ - аналога количества простых чисел не превышающих значение $x$ $(x \geq x_0)$, где $x_0$-число Скьюза, определяется формулой нормального распределения:
$P(x_1)=\frac{1}{\sigma \sqrt {2\pi}} \cdot e^{\frac{-(x_1-a)^2}{2(\sigma)^2}}$, (34)
где $a=Li(x),\sigma=\sqrt {Li(x)-Li(x)^2/x}$.

Поэтому на основании (34) плотность вероятности распределения случайной величины $x_2$ - аналога количества простых чисел не превышающих значение $x$ $(x<x_0)$ определяется формулой:
$P(x_2)=\frac{2}{\sigma \sqrt {2\pi}} \cdot e^{\frac{-(x_2-a)^2}{2(\sigma)^2}}$ при $x_2 \leq a$ и $P(x_2)=0$ при $x_2>a$. (35)

При больших $x$ $(x>10^8)$ выполняется соотношение:
$x/\ln(x)<Li(x)-3\sigma<...<Li(x)$. (36)

Функция распределения вероятности случайной величины $x_2$ на основании (35) имеет вид:
$F(x_2)=\frac{2}{\sigma \sqrt {2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{x_2}e^{\frac{-(t-a)^2}{2(\sigma)^2}}dt$ при $x_2 \leq a$ и $F(x_2)=1$ при $x_2>a$. (37)

[vicvolf]

Напомню, что вторая вероятностная модель в данной теме (модель Крамера) также рассматривает случайную величину - аналог количества простых чисел не превыщающих значение $x$.

Ранее в данной теме было показано, что данная случайная величина также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием равным $a=Li(x)$ и среднеквадратичным отклонением:
$\sigma_1=\sqrt {Li(x)-Li_2(x)}$, (38)
где $Li_k(x)=\int_2^x {dt/\ln^k(t)}$.

Докажем следующие утверждения:
1. $\sigma_1^2 \sim \sigma^2$. (39)
2. $\sigma^2-\sigma_1^2=x/\ln^3(x)+O(x/\ln^4(x))$. (40)

Сначала докажем (39).
Проведя интегрирование по частям получаем:
$Li(x)=x/\ln(x)+Li_2(x)$. (41)

Поэтому:
$Li^2(x)/x=x/\ln^2(x)+2x \cdot Li_2(x)/\ln(x)+Li^2(x)/x$ (42)

Интегрируя по частям получаем:
$Li_2(x)=x/\ln^2(x)+Li_3(x)$. (43)

Подставим (43) в (42) и получим:
$Li^2(x)/x=x/\ln^2(x)+2x/\ln^3(x)+O(x/\ln^4(x))$. (45)

С другой учитывая, что $Li_3(x)=x/\ln^3(x)+O(x/\ln^4(x))$ и (43) получаем:
$Li_2(x)=x/\ln^2(x)+x/\ln^3(x)+O(x/\ln^4(x))$. (46)

На основании (41), (45) и (46) получим:

$$\lim_{x->\infty}{\sigma^2/\sigma_1^2}=\lim_{x->\infty}\frac {Li(x)-Li^2(x)/x} {Li(x)-Li_2(x)}=\lim_{x->\infty}{\frac {x/\ln(x)-x/\ln^3(x)+O(x/\ln^4(x))} {x/\ln(x)+O(x/\ln^4(x)}}=1$$

Теперь докажем (40).
На основании (45) и (46) получаем: $\sigma^2-\sigma_1^2=Li^2(x)/x-Li_2(x)=$
$x/\ln^2(x)+2x/\ln^3(x)-x/\ln^2(x)-x/\ln^3(x)+O(x/\ln^4(x))=$
$x/\ln^3(x)+O(x/\ln^4(x))$

Этим объясняется п.2 выводов сообщения от 28.04.2015.

[vicvolf]

Сделаю исправления (42):
$Li^2(x)/x=x/\ln^2(x)+2 \cdot Li_2(x)/\ln(x)+Li_2^2(x)/x$ (42)
А далее все верно.

[vicvolf]

Найдем плотность распределения случайной величины $Y=X_2/x$, где $x<x_0$, а $x_0$- число Скьюза.

Используем формулу:
$P_Y(Y)=P_{X_2}[g(Y)]g'(Y)$, (47)
где $g(Y)$ - обратная функция.

В данном случае $g(Y)=x \cdot Y, g'(Y)=x$.
Поэтому на основании (35), (47) при $X_2 \leq a$ или $Y \leq a/x=Li(x)/x $ получаем:
$P_Y(Y)=\frac {2} {\sigma \sqrt {2\pi}}e^{-\frac{(XY-a)^2}{2{\sigma}^2}}\cdot x=\frac {2} {\sigma/x \sqrt {2\pi}}e^{-\frac{(Y-a/x)^2}{2{\sigma/x}^2}$, а при $Y>a/x=Li(x)/x$ плотность распределения случайной величины $Y$: $P(Y)=0$.(48)

Обозначим $b=a/x=Li(x)/x, \sigma_1=\sigma/x=\sqrt {Li(x)/x^2-Li^2(x)/x^3}$. (49)
Тогда видно, что случайная величина $Y$ на основании (48) имеет такой же вид функции распределения, что случайная величина $X_2$, но с характеристиками (49).

Случайная величина $Y$ является аналогом средней плотности количества простых чисел.
Если сравнивать Гауссову плотность $1/\ln(x)$ с математическим ожиданием случайной величины $Y$ равным $b=Li(x)/x$, то $1/\ln(x)<Li(x)/x$ при $x<x_0$, так как $x/\ln(x)<Li(x$ при $x<x_0$.

С ростом $x$ значение среднеквадратичного отклонения $\sigma_1$ на основании (49) быстро стремится к 0. Следовательно, последовательность случайных величин $Y$ (аналога средней плотности количества простых чисел) сходится по вероятности к своему математическому ожиданию $Li(x)/x$, равному вероятности выбранного наугад натурального числа, не превосходящего значение $x$, быть простым.

[vicvolf]

Теперь рассмотрим случайную величину $Z=1/Y$, являющуюся аналогом среднего расстояния между простыми числами при $x<x_0$, где $x_0$ - число Скьюза.

Найдем функцию плотности распределения случайной величины $Z$, учитывая,что в данном случае $Z=f(Y)$ является убывающей функцией:
$P_Z(Z)=- P_Y[g(Z)]g'(Z)$, (50)
где $g(Z)$ - обратная функция.

В данном случае $g(Z)=1/Z, g'(Z)=-1/Z^2$, поэтому по формуле (50) получим:
$P_Z(Z)=\frac {2} {Z^2\sigma_1 \sqrt {2\pi}}e^{-\frac{(1/Z-a/x)^2}{2{\sigma_1}^2}$ при $Z \geq c=x/a=x/Li(x)$, $P(Z)=0$ при $Z <x/Li(x)$, (51)
где $\sigma_1=\sigma/x$.

Математическое ожидание случайной величины $Z$ (аналога среднего расстояния между простыми числами) равно $c=x/Li(x)$.

Выполняется неравенство:
$x/Li(x)< x/\pi(x)<\ln(x)$, (52)
где $x/\pi(x)$- среднее расстояние между простыми числами.

Функция $P(Z)$ при $Z \geq c=x/Li(x)$ достигает максимального значения в точке $c=x/Li(x)$ равное $P(c)=\sqrt {\frac {2/\pi} {1/x^2Li^3(x)-1/x^3Li^2(x)}}$. (53)

При $Z>c$ производная $P'(Z)<0$, поэтому функция $P(Z)$ убывает и быстро стремится к 0.

[vicvolf]

Воспользуемся тем, что для случайной величины $Y=f(X)$ сохраняются все значения вероятности, т.е. если случайная величина $X$ принимает значение $x$ с вероятностью $p$, то случайная величина $Y$ принимает значение $y=f(x)$ также с вероятностью $p$.

Поэтому, так как случайная величина $x_2$, являющаяся аналогом количества простых чисел, не превосходящих значение $x<x_0$ ($x_0$-число Скьюза), принимала значение в интервале $(Li(x)-\sigma(x), Li(x))$ вероятностью $0,6827$, то случайная величина $Z$, являещаяся аналогом среднего расстояния между простыми числами, не превосходящими значение $x<x_0$, принимает значение в интервале $(x/Li(x), x/(Li(x)-\sigma(x))$ с такой же вероятностью.

Учитывая это рассмотрим следующие величины: целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели $\sigma(x)=[\sqrt {Li(x)-Li^2(x)/x}]$, математическое ожидание случайной величины $Z$ - $x/Li(x)$, значение величины $x/(Li(x)-\sigma(x))$, значение разности фактической величины и вычисленного математического ожидания среднего расстояния между простыми числами - $x/\pi(x)-x/Li(x)$, расчетное отклонение значения случайной величины $Z$ в точке $Li(x) -\sigma(x)$ от своего матеиатического ожидания - $x/(Li(x)-\sigma(x))-x/Ln(x)$.

При $x=10^8$ получаем значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели $[\sigma(x)]=2330$, значение математического ожидания случайной величины аналога среднего расстояния между простыми числами - $x/Li(x)=17,354$, значение величины $x/(Li(x)-\sigma(x))=17,361$, значение разности фактической величины и вычисленного математического ожидания среднего расстояния между простыми числами - $x/\pj(x)-x/Li(x)=0,003$, расчетного отклонения значения случайной величины $Z$ в точке $Li(x) -\sigma(x)$ от своего матеиатического ожидания - $x/(Li(x)-\sigma(x))-x/Ln(x)=0,007$.

При $x=10^9$ получаем значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели $[\sigma(x)]=7091$, значение математического ожидания случайной величины аналога среднего расстояния между простыми числами - $x/Li(x)=19,666$, значение величины $x/(Li(x)-\sigma(x))=19,669$, значение разности фактической величины и вычисленного математического ожидания среднего расстояния между простыми числами - $x/\pj(x)-x/Li(x)=0,001$, расчетного отклонения значения случайной величины $Z$ в точке $Li(x) -\sigma(x)$ от своего матеиатического ожидания - $x/(Li(x)-\sigma(x))-x/Ln(x)=0,003$.

При $x=10^{10}$ получаем значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели $[\sigma(x)]=20841$, значение математического ожидания случайной величины аналога среднего расстояния между простыми числами - $x/Li(x)=21,975$, значение величины $x/(Li(x)-\sigma(x))=21,976$, значение разности фактической величины и вычисленного математического ожидания среднего расстояния между простыми числами - $x/\pj(x)-x/Li(x)=0,000$, расчетного отклонения значения случайной величины $Z$ в точке $Li(x) -\sigma(x)$ от своего матеиатического ожидания - $x/(Li(x)-\sigma(x))-x/Ln(x)=0,001$.

При $x=10^{11}$ получаем значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели $[\sigma(x)]=62836$, значение математического ожидания случайной величины аналога среднего расстояния между простыми числами - $x/Li(x)=24,283$, значение величины $x/(Li(x)-\sigma(x))=24,284$, значение разности фактической величины и вычисленного математического ожидания среднего расстояния между простыми числами - $x/\pj(x)-x/Li(x)=0,000$, расчетного отклонения значения случайной величины $Z$ в точке $Li(x) -\sigma(x)$ от своего матеиатического ожидания - $x/(Li(x)-\sigma(x))-x/Ln(x)=0,001$.

При $x=10^{12}$ получаем значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели $[\sigma(x)]=612099$, значение математического ожидания случайной величины аналога среднего расстояния между простыми числами - $x/Li(x)=26,590$, значение величины $x/(Li(x)-\sigma(x))=26,590$, значение разности фактической величины и вычисленного математического ожидания среднего расстояния между простыми числами - $x/\pj(x)-x/Li(x)=0,000$, расчетное отклонение значения случайной величины $Z$ в точке $Li(x) -\sigma(x)$ от своего матеиатического ожидания - $x/(Li(x)-\sigma(x))-x/Ln(x)=0,000$.

Выводы:
1. Значения разности фактической величины и вычисленного математического ожидания среднего расстояния между простыми числами при больших $x$ мало.
2. Расчетное отклонение значения случайной величины $Z$ в точке $Li(x) -\sigma(x)$ от своего матеиатического ожидания - $x/(Li(x)-\sigma(x))-x/Ln(x)$ при больших $x$ мало.
3. Значения разности фактической величины и вычисленного математического ожидания среднего расстояния между простыми числами не превосходит расчетного отклонения значения случайной величины $Z$ в точке $Li(x) -\sigma(x)$.

[vicvolf]

Для простоты дальнейшего изложения введем обозначение - $Li_k(x)=\int_{2}^{x} {dt/\ln^k(t)}$.

Ранее в теме рассматривалость распределение случайной величины $J(x)$ - аналога количества простых $k$- кортежей, не превосходящих $x$.

Напомню, что простым $k$- кортежем называется последовательность, состоящая из $k$ простых чисел: $n,n+2m_1,...n+2m_{k-1}$, где $m_1<m_2<...<m_{k-1}$.

Было показано, что случайная величина $J(x)$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием:

$M_J \approx C(m_1,...m_{k-1}) Li_k(x)$, где $C(m_1,...,m_{k-1})$ определяется по формуле (12). Указанная величина совпадает с количеством простых $k$- кортежей, определенным на основании гипотезы Харди-Литлвуда.

Среднеквадратичное отклонение случайной величины $J(x)$ определяется по формуле:

$\sigma_J \approx \sqrt {C(m_1,...,m_{k-1}) Li_k(x)-(C(m_1,...,m_{k-1}))^2 Li_{2k}(x)}$.

Поэтому плотность вероятности распределения случайной величины $J(x)$ имеет вид:
$P_J(J)=\frac {1}{\sigma_J \sqrt{2\pi}}e^{-\frac {(J-M_J)^2}{2\sigma^2_J}}$. (54)

Теперь найдем плотность распределения вероятности случайной величины $G(x)=J(x)/x$.

Используем формулу:

$P_G(G)=P_J[G(J)] G'(J)$, (55) где $G(J)$ - обратная функция.

На основании формул (54) и (55) получаем:

$P_G(G)= \frac {1}{\sigma_J \sqrt {2\pi}}e ^{-\frac {(xJ-M_J)^2}{2\sigma^2_J}} \cdot x= \frac {1}{\sigma_J /x\sqrt {2\pi}}e ^{-\frac {(J-M_J/x)^2}{2\sigma^2_J/x^2}}$. (56)

Таким образом, случайная величина $G(x)$ на основании (56) имеет нормальное распределение, как и случайная величина $J(x)$, но с математическим ожиданием:

$M_G=M_J/x \approx \frac {C(m_1,...,m_{k-1}) Li^k(x)}{x}$ (57)

и среднеквадратичным отклонением:

$\sigma_G \approx \sqrt {C(m_1,...m_{k-1}) Li_k(x)/x^2-(C(m_1,...m_{k-1}))^2 Li_{2k}(x)/x^3}$. (58)

Случайная величина $G(x)$ является аналогом средней плотности количества простых $k$- кортежей, не превосходящих $x$.

C ростом значения $x$ среднеквадратичное отклонение $\sigma_G$ на основании (58) быстро стремится к 0. Следовательно, случайная величина $G(x)$ (аналог средней плотности количества простых $k$ - кортежей, не превосходящих значение $x$) сходится по вероятности к своему математическому ожиданию $\frac {C(m_1,...,m_{k-1}) Li^k(x)}{x}$, равному вероятности выбранных наугад натуральных чисел, не превосходящих $x$: $n,n+2m_1,...n+2m_{k-1}$, где $m_1<m_2<...<m_{k-1}$ , быть простыми.

[vicvolf]

Поясню последнюю фразу.

Ранее было показано, что плотность целочисленной, положительной, строго возрастающей последовательности на конечном интервале натурального ряда является конечной вероятностной мерой. Последовательность простых $k$- кортежей удолетворяет указанным условиям и поэтому ее плотность является конечной вероятностной мерой, равной вероятности выбранных наугад натуральных чисел, не превосходящих $x$: $n,n+2m_1,...n+2m_{k-1}$, где $m_1<m_2<...<m_{k-1}$, быть простыми.

Теперь рассмотрим случайную величину $H=1/G$, являющаюся аналогом среднего расстояния между простыми $k$ - кортежами, не превыщающими значение $x$.

Найдем функцию плотности распределения случайной величины $H$, учитывая что $H=f(G)$ является убывающей функцией:

$P_H(H)=-P_G[g(H)]g'(H)$, (59)
где $g(H)$ - обратная функция.

В данном случае $g(H)=1/H, g'(H)=-1/H^2$. Поэтому на основании (59) получим:

$P_H(H)=\frac {1}{H^2\sigma_G \sqrt {2\pi}} e^{-\frac {(1/H-M_G)^2}{2\sigma^2_G}}$. (60)

Математическое ожидание случайной величины $H$ (аналога среднего расстояния между простыми $k$-кортежами, не превышающими значении $x$) равно:

$M_H=1/M_G=x/C(m_1,...m_{k-1})Li_k(x)$. (61)

Функция $P_H(H)$ не является симметричной и не имеет нормальный закон распределения. Максимум $P_H(H)$ достигается при $H=M_H$ и равен:

$P_H(M_H)=\frac {1}{(M_H)^2\sigma_G \sqrt {2\pi}}=\frac{(C(m_1,...,m_{k-1})Li_k(x))^2}{x^2\sigma_G \sqrt{2\pi}}$, (62)
где $\sigma_G$ определяется по формуле (58).

При $H$ стремящемся к бесконечности функция $P_H(H)$ стремится к 0.

[vicvolf]

Cлучайная величина $H$ , являющейся аналогом среднего расстояния между простыми $k$- кортежами, является функцией случайной величины $J$ - аналога количества простых $k$- кортежей, не превосходящих $x$.

Воспользуемся тем, что для случайной величины $Y=f(X)$ сохраняются все значения вероятности, т.е. если случайная величина $X$ принимает значение $x$ с вероятностью $p$, то случайная величина $Y$ принимает значение $y=f(x)$ также с вероятностью $p$.

В качестве примера рассмотрим среднее расстояние между простыми близнецами, не превосходящими $x$. Определим следующие параметры.
Значение среднеквадратичного отклонения $\sigma_J=\sqrt {1,32...Li_2(x)-(1,32...)^2Li_4(x)}$, математическое ожидание случайной величины $H$ - аналога среднего расстояния между простыми близнецами - $M(H)=x/1,32...Li_2(x)$, значение случайной величины $x/(1,32...Li_2(x)+\sigma_J$, значение случайной величины $x/(1,32...Li_2(x)-\sigma_J)$, фактическое количество простых близнецов, не превышаюших $ x$ - $\pi_2(x))$, фактическое среднее расстояние между простыми близнецами, не превышающими значение $x$ - $x/\pi_2(x)$, отклонение фактического среднего расстояния между простыми близнецами от расчетного - $x/\pi_2(x)-M(H)$.

При $x=10^5$ значение среднеквадратичного отклонения $\sigma_J=\sqrt {1,32...Li_2(x)-(1,32...)^2Li_4(x)}=35$, математическое ожидание случайной величины $H$ - аналога среднего расстояния между простыми близнецами: $M(H)=x/1,32...Li_2(x)=80,064$, значение случайной величины $x/(1,32...Li_2(x)+\sigma_J)= 77,882$, значение случайной величины $x/(1,32...Li_2(x)-\sigma_J)=82,372$, фактическое количество простых близнецов, не превышаюших $ x$: $\pi_2(x)=1224$, фактическое среднее расстояние между простыми близнецами, не превышающими значение $x$: $x/\pi_2(x)=81,699$, отклонение фактического среднего расстояния между простыми близнецами от расчетного: $|x/\pi_2(x)-M(H)|=1,635$.

При $x=10^6$ значение среднеквадратичного отклонения $\sigma_J=\sqrt {1,32...Li_2(x)-(1,32...)^2Li_4(x)}=90$, математическое ожидание случайной величины $H$ - аналога среднего расстояния между простыми близнецами: $M(H)=x/1,32...Li_2(x)=121,242$, значение случайной величины $x/(1,32...Li_2(x)+\sigma_J)= 119,933$, значение случайной величины $x/(1,32...Li_2(x)-\sigma_J)=122,579$, фактическое количество простых близнецов, не превышаюших $ x$: $\pi_2(x)=8169$, фактическое среднее расстояние между простыми близнецами, не превышающими значение $x$: $x/\pi_2(x)=122,414$, отклонение фактического среднего расстояния между простыми близнецами от расчетного: $|x/\pi_2(x)-M(H)|=1,172$.

При $x=10^7$ значение среднеквадратичного отклонения $\sigma_J=\sqrt {1,32...Li_2(x)-(1,32...)^2Li_4(x)}=242$, математическое ожидание случайной величины $H$ - аналога среднего расстояния между простыми близнецами: $M(H)=x/1,32...Li_2(x)=170,201$, значение случайной величины $x/(1,32...Li_2(x)+\sigma_J)= 169,503$, значение случайной величины $x/(1,32...Li_2(x)-\sigma_J)=170,905$, фактическое количество простых близнецов, не превышаюших $x$: $\pi_2(x)=58980$, фактическое среднее расстояние между простыми близнецами, не превышающими значение $x$: $x/\pi_2(x)=169,549$, отклонение фактического среднего расстояния между простыми близнецами от расчетного: $|x/\pi_2(x)-M(H)|=0,652$.

Выводы:
1. Значения отклонения фактического среднего расстояния между простыми близнецами и вычисленного математического при больших $x$ мало.
2. Фактическое среднее расстояние между простыми близнецами при указанных значениях $x$ находится в интервале $(x/1,32...Li_2(x)+\sigma_J, x/1,32...Li_2(x)-\sigma_J)$.

[vicvolf]

Немного подправим выводы.

Выводы:
1. Значения отклонения фактического среднего расстояния между простыми близнецами от вычисленного математического ожидания $|x/\pi_2(x)-M(H)|$ при больших $x$ - мало.
2. Вероятность, что среднее расстояние между простыми близнецами при любом $x$ находится в интервале: $(\frac {x} {1,32...Li_2(x)+S\sigma_J} , \frac{x} {1,32...Li_2(x)-S\sigma_J} )$ равна $F(S)$, где $F(S)$ - значение функции стандартного нормального распределения в точке $S$.
3. Фактическое среднее расстояние между простыми близнецами находится в интервале $(\frac {x} {1,32...Li_2(x)+\sigma_J} , \frac{x} {1,32...Li_2(x)-\sigma_J})$ при значениях $x$ в интервале $10^5- 10^7$.

[vicvolf]

Теперь, в качестве примера, рассмотрим среднее расстояние между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$ не превосходящими $x$. Определим следующие параметры.

Значение среднеквадратичного отклонения $\sigma_J=\sqrt {C(4,6) Li_3(x)-(C(4,6))^2Li_6(x)}$, математическое ожидание случайной величины $H$ - аналога среднего расстояния между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$: $M(H)=x/C(4,6)Li_3(x)$, значение случайной величины $x/(C(4,6) Li_3(x)+3\sigma_J)$, значение случайной величины $x/(C(4,6) Li_3(x)-3\sigma_J)$, фактическое количество простых кортежей $(p, p+4, p+6)$ , не превышающих значение $ x$: $\pi_3(x)$, фактическое среднее расстояние между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$, не превышающими значение $x$: $x/\pi_3(x)$, отклонение фактического среднего расстояния между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$ от расчетного - $x/\pi_3(x)-M(H)$.

При $x=10^6$ значение среднеквадратичного отклонения $\sigma_J=\sqrt {C(4,6) Li_3(x)-(C(4,6))^2Li_6(x)}=16$, математическое ожидание случайной величины $H$ - аналога среднего расстояния между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$: $M(H)=x/C(4,6)Li_3(x)=691,563$, значение случайной величины $x/(C(4,6) Li_3(x)+3\sigma_J)=669,344$, значение случайной величины $x/(C(4,6) Li_3(x)-3\sigma_J)=715,308$, фактическое количество простых кортежей $(p, p+4, p+6)$ , не превышающих значение $x$: $\pi_3(x)=1444$, фактическое среднее расстояние между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$, не превышающими значение $x$: $x/\pi_3(x)=692,521$, отклонение фактического среднего расстояния между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$ от расчетного - $x/\pi_3(x)-M(H)=0,958$.

При $x=10^7$ значение среднеквадратичного отклонения $\sigma_J=\sqrt {C(4,6) Li_3(x)-(C(4,6))^2Li_6(x)}=38$, математическое ожидание случайной величины $H$ - аналога среднего расстояния между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$: $M(H)=x/C(4,6)Li_3(x)=1164,563$, значение случайной величины $x/(C(4,6) Li_3(x)+3\sigma_J)=1164,009$, значение случайной величины $x/(C(4,6) Li_3(x)-3\sigma_J)=1150,086$, фактическое количество простых кортежей $(p, p+4, p+6)$ , не превышающих значение $x$: $\pi_3(x)=1444$, фактическое среднее расстояние между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$, не превышающими значение $x$: $x/\pi_3(x)=1152,521$, отклонение фактического среднего расстояния между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$ от расчетного - $x/\pi_3(x)-M(H)=-11,536$.

При $x=10^8$ значение среднеквадратичного отклонения $\sigma_J=\sqrt {C(4,6) Li_3(x)-(C(4,6))^2Li_6(x)}=93$, математическое ожидание случайной величины $H$ - аналога среднего расстояния между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$: $M(H)=x/C(4,6)Li_3(x)=1802,094$, значение случайной величины $x/(C(4,6) Li_3(x)+3\sigma_J)=1793,079$, значение случайной величины $x/(C(4,6) Li_3(x)-3\sigma_J)=1811,086$, фактическое количество простых кортежей $(p, p+4, p+6)$ , не превышающих значение $x$: $\pi_3(x)=55556$, фактическое среднее расстояние между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$, не превышающими значение $x$: $x/\pi_3(x)=17,59921$, отклонение фактического среднего расстояния между простыми кортежами $(p, p+4, p+6)$ от расчетного - $x/\pi_3(x)-M(H)=-2,108$.

Выводы:
1. Значения отклонения фактического среднего расстояния между простыми кортежами$(p, p+4, p+6)$ от вычисленного математического ожидания $|x/\pi_3(x)-M(H)|$ при больших $x$ - сравнительно мало.
2. Вероятность, что среднее расстояние между простыми кортежами$(p, p+4, p+6)$ при любом $x$ находится в интервале: $(\frac {x} {C(4,6) Li_3(x)+S\sigma_J} , \frac{x} {C(4,6)Li_3(x)-S\sigma_J} )$ равна $F(S)$, где $F(S)$ - значение функции стандартного нормального распределения в точке $S$.
3. Фактическое среднее расстояние между простыми кортежами$(p, p+4, p+6)$ находится в интервале $(\frac {x} {C(4,6) Li_3(x)+3\sigma_J} , \frac{x} {C(4,6) Li_3(x)-3\sigma_J})$ при значениях $x$ в интервале $10^6- 10^8$.

[vicvolf]

Вероятностные методы могут быть с успехом использованы при анализе расстояния между соседними простыми числами.

В работе Прахар "Распределение простых чисел" стр. 175 Теорема 4.1 доказано, что при подходящих константах $C_1, C_2$ сушествует более чем $C_1\ln(x)$ различных приращений $d_i=p_{i+1}-p_i<C_2\ln(x),(d_i<<\ln(x))$, образованных простыми числами $p_{i+1}, p_i$ не превосходяшими $x$.
Следовательно, показано, что приращение $d_i<<\ln(x)$ дают конечную долю всех приращений между простыми числами, т.е. вероятность этого события $A$ положительна $P(A)>0$. Таким образом, вероятность, что $d_i>>\ln(x)$ равна $1-P(A)$.

В работе Гренвилле, о которой говорилось выше, вероятностные методы были использованы для нахождения максимального расстояния между соседними простыми числами меньшими $x$, и было показано, что $sup_i(d_i) \leq C_3 \ln^2(x)$.

В работе Курбатова http://arxiv.org/pdf/1301.2242v3.pdf вероятностные методы использованы для нахождения максимального расстояния между простыми $k$- кортежами.

В данной работе вероятностные методы были использованы для нахождения среднего расстояния между соседними простыми числами и $k$- кортежами.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #991502 писал(а):

При $x=10^7$ фактическое количество данных простых кортежей равно $8677$, рассчитанное на основании гипотезы Харди-Литлвуда - $8591$, разница - $-14$, среднеквадратичное отклонение - $38$.

Обнаружил ошибку.

При $x=10^7$ фактическое количество данных простых кортежей равно $8677$, рассчитанное на основании гипотезы Харди-Литлвуда - $8591$, разница - $-86$, среднеквадратичное отклонение - $38$, т.е. отклонение примерно равно 3 среднеквадратичных отклонения.

При $x=10^6,10^8$ отклонение находится в пределах одного среднеквадратичного отклонения.

grizzly, следовательно, при $x=10^7$ получается скачок в значении отклонения.